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背包问题与报酬优化算法

最新推荐文章于 2021-05-16 07:05:36 发布

原创最新推荐文章于 2021-05-16 07:05:36 发布 · 1.3k 阅读

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本文探讨了背包问题中特定顺序修建任务的最优策略，通过比较相邻任务的报酬变化，提出了排序并应用动态规划的方法来解决限制总天数条件下的问题。通过实现排序函数和动态规划算法，最终确定了具有最大总报酬的修建顺序。

浙大月赛题目

背包问题

但是coffin得修建顺序是唯一的。

网上的题解 http://hi.baidu.com/oldjunyi/item/8391d3e63ae1493986d9decd

先不考虑总天数 T 的限制，假设他们全都能修建完成。对于某个修建顺序 a[1], a[2], .., a[N]，考虑其中任意相邻的两个任务 l = a[i] 和 r = a[i + 1]，它们能获得的报酬为：
x * s[l] + (x - t[l]) * s[r] = x * (s[l] + s[r]) - t[l] * s[r]
如果交换它们的顺序，则明显不影响其他任务（因为它们的总耗时不变），而交换后的报酬为：
x * s[r] + (x - t[r]) * s[l] = x * (s[l] + s[r]) - t[r] * s[l]
可以发现，这两个式子变换后，前面的部分都一样，后面的部分一个是 -t[l] * s[r]，一个是 -t[r] * s[l]

既然交换相邻的任务不会影响其他任务，但会改变的总报酬，那么我们就可以通过对 {1, 2, 3, .., N} 这个序列进行一定的交换，得到一个报酬最大的修建顺序，换句话说，对这些任务进行一个排序即可得到一个最优的工作顺序：

bool cmp(int l, int r){

return -t[l] * s[r] > -t[r] * s[l];

}

现在，有了总天数 T 的限制后，必须在这个基础上进行一个 DP，做法就是从排好序的工作中选择一部分工作去执行（上面的 cmp 函数中的表达式能转换成 t[l] / s[l] < t[r] / s[r]，可以发现它有传递性，因此它的任意子序列也是最优的顺序），

于是剩下的 DP 部分是一个类似于背包的写法，照着题目里给的计算方式去算就行了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

int t[3002],s[3002],a[3000];
bool cmp(int a,int b)
{
	return -t[a]*s[b]>-t[b]*s[a];
}
int main()
{
	int n,m;
	int i,j,o;
	
	int dp[10004];
	while(cin>>n>>m!=0)
	{
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			cin>>t[i]>>s[i];
			a[i]=i;
		}
		sort(a,a+n,cmp);
		memset(dp,128,sizeof(dp));//初始化，要求背包装满，所以初始化负无穷
		dp[0]=0;
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			o=a[i];
			for(j=m;j>=t[o];j--)
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-t[o]]+(m-j+t[o])*s[o]);
		}
		cout<<*max_element(dp,dp+m+1)<<endl;	
	}	
	
	return 0;
}