2.12 常用算法的应用实例

从思想方法上可将算法归为以下几种：直接法、枚举法、递推法、递归法、回溯法等等。本节先介绍直接法、枚举法、递推法的思想，其他算法将在后续内容中逐步介绍。

直接法：根据问题给出的条件直接求解。
【例2.19】 用筛选法求100之内的所有素数，并将这些素数输出。
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
const int n=100;
int main(){
    int a[n];
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++) a[i]=1+i;   //用数组保存整数1-100
    a[0]=0;       //1不是素数，置0
   for(i=1;i<n;i++){
      if(a[i]==0)  continue;   //该数已经置0,判断下一个数
      for(j=i+1;j<n;j++) if(a[j]%a[i]==0)  a[j]=0; //是a[i]倍数的元素置0；
   }
   int count=0;
   cout<<"1-" <<n<<"之间的素数："<<endl;
   for(i=0;i<n;i++)      //输出所有素数
      if(a[i]!=0){                       //非0元素即为素数
         cout<<setw(6)<<a[i];
         count++;
         if(count%10==0)  cout<<endl; //每行10个数据
   }
   cout<<endl;
   return 0;
}

枚举法：在有限范围内列举所有可能的结果，找出其中符合要求的解，又称“穷举法”。其适合求解的问题是：可能的答案是有限个且答案是可知的，但又难以用解析法描述。通常，用循环结构来完成。
【例2.20】 中国古代数学史上著名的“百鸡买百鸡问题”：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？ 
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main(){
    int i,j,k;
    cout<<"   公鸡      母鸡      小鸡"<<endl;
   for(i=0;i<=20;i++)
      for(j=0;j<=33;j++){
         k=100-i-j;
         if((5*i+3*j+k/3==100)&&(k%3==0))   //注意(k%3==0)非常重要
      cout<<setw(6)<<i<<setw(10)<<j<<setw(10)<<k<<endl;
   }
   return 0;
}

递推法：通过问题的一个或多个已知解，用同样的方法逐个推算出其他解，如数列问题，近似计算问题等。通常，也要借助于循环结构完成。
【例2.21】用欧几里德算法（也称辗转法）求两个整数的最大公约数。
【分析】假定两个整数分别为num1和num2，最大公约数应当是不超过其中较小数的一个整数。辗转法的思想是：用num1除以num2，求出余数resd，如果resd==0，则当前num2就是最大公约数，否则（resd!=0），num1=num2, num2=resd, 重复以上过程，直到resd==0为止。
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
  int num1,num2,resd;
  cout<<"输入两个整数："<<endl;
  cin>>num1>>num2;
  cout<<num1<<"和"<<num2<<"的最大公约数为：";
  for(;;){
      resd=num1%num2;
      if(resd==0)  break;
      num1=num2;  num2=resd;
  }
  cout<<num2<<endl;
  return 0;
}
【例2.22】 输入一个小于1的数x，求sinx的近似值，要求误差小于0.0001。sinx的近似计算公式如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    const double epsilon=0.0001;          //用epsilon保存误差
   double x,sinx,item;
   int n=2,sign=-1;                     //sign保存符号
   cout<<"input x:";
   cin>>x;
   sinx=x;item=x*x*x/6;                //第一项作为初值，第二项为误差项
   while(item>epsilon){
      sinx=sinx+item*sign;            //将当前项累加进结果，注意符号作为因子
      item=item*x*x/((2*n)*(2*n+1));   //推算新的误差项
      sign=-sign;                    //注意符号的变换
      n++;
   }
   cout<<"sin("<<x<<")="<<sinx<<endl;
   return 0;
}

【例2.23】输入一个8位二进制数，将其转换为十进制数输出。
#include<iostream>
using namespace std;
const int n=8;
int main(){
    char bin[n];
   int x=2,a,dec,i;
   cout<<"输入二进制序列："<<endl;
   for(i=n-1;i>=0;i--)  cin>>bin[i];      //先输入的是高位数
   dec=0;
   for(i=n-1;i>=0;i--){
      a=bin[i]-'0';                //数字字符转换为数字
      dec= dec*x+a;
   }
   cout<<"二进制序列(";
   for(i=n-1;i>=0;i--)  cout<<bin[i];
   cout<<")的值为:"<<dec<<endl;
   return 0;
}