费马小定理

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#费马小定理

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1，https://blog.youkuaiyun.com/tomorrowtodie/article/details/51865496

2，https://blog.youkuaiyun.com/Danliwoo/article/details/48827813#fn:meison

3，https://blog.youkuaiyun.com/u012717411/article/details/43412043

4，https://blog.youkuaiyun.com/z690933166/article/category/1349672/3

5，https://blog.youkuaiyun.com/lianai911/article/category/2562225/4

6，https://blog.youkuaiyun.com/bigbigship/article/category/1931643/6

7，http://www.cnblogs.com/tom987690183/p/3260724.html

HDU 4869（Turn the pokers）

特别的斐波那契数列 HDU 4549

 

 

C/C++ Fermat‘s little theorem费马小定理寻找模逆实现算法详解及源码
希望我的博客，能帮上你解决学习中工作中所遇到的问题
06-13 7863
Fermat’s little theorem（费马小定理）是一个在数论中非常重要的定理，提供了一种寻找模逆元的方法。模逆元是指在某个模数下，能够与给定数相乘得到模数的结果为1的数。根据费马小定理，我们可以得到一个简单的寻找模逆元的算法。假设要寻找数a在模p下的模逆元x，只需要计算a^(p-2) % p即可。具体来说，费马小定理的表述是：如果p是一个质数，a是任意一个不可被p整除的整数，那么(a^p-1) % p = 1。这种使用费马小定理寻找模逆的算法具有一定的优点和缺点。
（超简单、超易懂、超详细）算法精讲(三十三)：费马小定理
Malex2024的博客
06-24 1283
费马小定理是一个在数论中常用的定理，它可以用来快速求解大数取余的问题。费马小定理的表述如下：如果p是一个素数，a是一个整数且a不是p的倍数，那么a^(p-1)模p的结果等于1。利用费马小定理，我们可以在求解大数取余的过程中，将指数进行简化，从而减少计算量。具体算法如下：将底数a和模数p取余，得到a mod p。如果p是一个素数，计算a^(p-1) mod p。根据费马小定理，结果应该是1。
费马小定理题
baidu_39394563的博客
12-08 1987
费马小定理:假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么   A题HDU - 4704 首先是挡板法（隔板法）,然后用即可，高中数学范围不多叙述。 然后得到答案是   这题读入数据大，就算快速幂也肯定TLE，所以用费马小定理，把数据规模降到int 范围内，时间复杂度降低 因为1e9+7是一个素数，(基本可以假设N-1不是1e9+7的倍数，这一点我没想到，所以没写出来。。。。) 所...
【数论】费马小定理
最新发布
2401_87820834的博客
10-24 943
费马小定理的内容、费马小定理 + 快速幂求乘法逆元
欧拉函数、欧拉定理、费马小定理（附例题）
阳光的博客
12-15 1853
欧拉函数 欧拉函数的两种求法： ACWING873欧拉函数 给定 n 个正整数 ai ，请你求出每个数的欧拉函数。 欧拉函数的定义 输入格式 第一行包含整数 n 。 接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai 。 输出格式 输出共 n 行，每行输出一个正整数 ai 的欧拉函数。 数据范围 1≤n≤100 , 1≤ai≤2×109 输入样例： 3 3 6 8 输出样例： 2 2 4 AC代码： #include <bits/stdc++.h> using namespac
1.2.1 费马小定理与素数测试1
08-03
费马小定理是数论中的一个重要定理，它与素数测试紧密相关，尤其在判断大数是否为素数时具有重要意义。费马小定理指出，如果p是一个素数，而a是任意一个与p互素的正整数，那么a的p次幂除以p的余数等于a本身，即ap ≡...
【费马小定理】【欧拉定理】【扩展欧拉定理】及其证明
m0_72761451的博客
07-29 2675
注：此文所提到的“整数”“素数”等均指正数对于一个素数ppp，任意整数aaa，若gcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1（即aaa，ppp互质），则： ap−1≡1(modp) a^{p-1}\equiv1\pmod{p} ap−1≡1(modp)先找出所有小于等于ppp的与ppp互质的正整数， 为序列A={1,2,3,…,p−1}A=\{1,2,3,\dots,p-1\}A={1,2,3,…,p−1}，则：gcd⁡(Ai,p)=1\gcd(A_i,p
数论妙趣——费马小定理
平爷ZXP
08-13 988
（选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第六章　开门咒） 数论中充斥着许多易于观察到的事实，诱使人们用普通归纳推理的办法去进行推广。对此，必须慎之又慎，以免误入陷阱。 设想你偶而把2自乘7次，再减去2，得27－2＝126，随后发现，126恰好能被2的幂指数7整除。接着又发现，25－2＝30，30也能被2的幂指数5整除；211－2＝2048，2048也能被2的幂指数11整除。
费马小定理的应用
07-14
费马小定理在数论和密码学中具有广泛的应用，尤其是在涉及模幂运算和素性测试的场景中。以下是几个具体的应用实例： 1. **Diffie-Hellman 密钥交换协议**：费马小定理是 Diffie-Hellman 密钥交换协议的理论基础之一。在该协议中，通信双方通过公开的素数 $p$ 和一个基底 $g$，各自选择一个私密的指数，然后交换计算结果。由于费马小定理指出 $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$（当 $a$ 不被 $p$ 整除时），这保证了双方最终计算出的共享密钥是一致的，即使第三方截获了交换的信息，也难以推导出原始的私密指数[^1]。 2. **素性测试**：费马小定理可以用于设计一种概率性的素性测试方法。给定一个奇数 $n$，如果对于某个 $a$ 满足 $a^{n-1} \not\equiv 1 \mod n$，那么 $n$ 一定不是素数。虽然这种方法不是绝对可靠的（存在伪素数的情况），但它提供了一种快速排除非素数的方法。这一原理在实际的素性测试算法中被广泛应用[^1]。 3. **RSA 加密算法**：尽管 RSA 主要依赖于欧拉定理，但费马小定理为其提供了理论支持。在 RSA 中，加密和解密过程涉及大素数的模幂运算。费马小定理帮助理解为什么某些特定的指数选择能够确保加密和解密过程的正确性。例如，在选择公钥指数 $e$ 时，通常要求 $e$ 与 $\phi(n)$ 互素，其中 $\phi(n)$ 是欧拉函数，表示小于 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数的个数。这一选择确保了 $e$ 存在模 $\phi(n)$ 的逆元，从而使得解密成为可能[^3]。 4. **模幂运算优化**：费马小定理还可以用于优化模幂运算。例如，在计算 $a^b \mod p$ 时，如果 $p$ 是素数，可以利用费马小定理将指数 $b$ 减少到 $b \mod (p-1)$，因为 $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$。这种优化减少了计算的复杂度，特别是在处理大指数时非常有用[^4]。 ### 示例代码 以下是一个使用费马小定理优化模幂运算的 Python 实现： ```python def mod_exp_optimized(base, exponent, modulus): # 利用费马小定理优化指数 optimized_exponent = exponent % (modulus - 1) result = 1 base = base % modulus while optimized_exponent > 0: if optimized_exponent % 2 == 1: result = (result * base) % modulus base = (base * base) % modulus optimized_exponent = optimized_exponent // 2 return result # 测试案例 a = 5 p = 7 b = 100 result = mod_exp_optimized(a, b, p) print(f"{a}^{b} ≡ {result} (mod {p})") ``` ###
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