61、滚动映射与非线性数据：理论、算法及应用

滚动映射与非线性数据：理论、算法及应用

在处理非线性数据时，滚动映射是一种强大的工具，它在解决流形上的插值问题等方面具有重要应用。本文将深入探讨滚动映射的相关理论，包括平行传输、利用滚动解决插值问题的算法，以及一些扩展内容。

平行传输

考虑沿着滚动曲线 $\alpha(t)$ 的切向量（或法向量）场 $Z(t)$，用 $\chi(t)$ 表示相应的滚动映射。$Z$ 沿着 $\alpha$ 是切向（或法向）平行的，当且仅当 $\frac{D}{dt} Z(t) = 0$（或 $\frac{D^{\perp}}{dt} Z(t) = 0$）。等价地，从无扭转条件可得：
$\frac{D}{dt} \left[ d\alpha(t)\chi(t)Z(t) \right] = 0$（或 $\frac{D^{\perp}}{dt} \left[ d\alpha(t)\chi(t)Z(t) \right] = 0$）。

对于任意切向量 $Z(0) \in T_{\alpha(0)}M$（或法向量 $Z(0) \in T^{\perp} {\alpha(0)}M$）的平行传输，有以下明确公式：
$d\alpha(t)\chi(t): T {\alpha(t)}M \to T_{\chi(t)\alpha(t)} \left( \chi(t)M \right) = T_{\beta(t)} \left( T^{\text{aff}} {\alpha(0)}M \right) = T {\alpha(0)}M$，
$Z(t) \mapsto d\alpha(t)\chi(t)Z(t) = Z(0)$，
或等价地 $