小波变换

小波变换

长期以来，傅立叶分析一直被认为是最完美的数学理论和最实用的方法之一。但是用傅立叶分析只能获得信号的整个频谱，而难以获得信号的局部特性，特别是对于突变信号和非平稳信号难以获得希望的结果。

为了克服经典傅立叶分析本身的弱点，人们发展了信号的时频分析法，1946年Gabor提出的加窗傅立叶变换就是其中的一种，但是加窗傅立叶变换还没有从根本上解决傅立叶分析的固有问题。小波变换的诞生，正是为了克服经典傅立叶分析本身的不足。

（一）连续小波变换

所谓小波（wavelet）是由满足条件:

  (1)  

  (2)  

      （其中 ）

的解析函数经过平移、缩放得到的正交函数族

小波变换（WT，Wavelet Transform）是用小波函数族y_a,b(t)按不同尺度对函数f(t)ÎL² (R) 进行的一种线性分解运算：

对应的逆变换为：

小波变换有如下性质：

（1）小波变换是一个满足能量守恒方程的线形运算，它把一个信号分解成对空间和尺度（即时间和频率）的独立贡献，同时又不失原信号所包含的信息；

（2）小波变换相当于一个具有放大、缩小和平移等功能的数学显微镜，通过检查不同放大倍数下信号的变化来研究其动态特性；

（3）小波变换不一定要求是正交的，小波基不惟一。小波函数系的时宽-带宽积很小，且在时间和频率轴上都很集中，即展开系数的能量很集中；

（4）小波变换巧妙地利用了非均匀的分辨率，较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾；在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率（宽的分析窗口），而在高频段则用低的频率分辨率和高的时间分辨率（窄的分析窗口），这与时变信号的特征一致；

（5）小波变换将信号分解为在对数坐标中具有相同大小频带的集合，这种以非线形的对数方式而不是以线形方式处理频率的方法对时变信号具有明显的优越性；

（6）小波变换是稳定的，是一个信号的冗余表示。由于a、b是连续变化的，相邻分析窗的绝大部分是相互重叠的，相关性很强；

（7）小波变换同傅立叶变换一样，具有统一性和相似性，其正反变换具有完美的对称性。小波变换具有基于卷积和QMF的塔形快速算法。

（二）离散二进小波变换

在实际应用中，常常要把连续小波变换离散化。若对连续小波变换w¦（a,  b）的伸缩因子a和b进行采样，选取a=2^-j ，b=2^-j kb₀，则可得到离散的二进小波变换；  

这里j, k Î Z，采样率b₀ > 0.

由于离散二进小波变换是对连续小波变换的伸缩因子和平移因子按一定规则采样而得到的，因此，连续小波变换所具有的性质，离散二进小波变换一般仍具备。

（三）Mallat算法

Mallat算法是便于计算机软件和硬件实现的快速离散算法。这是Mallat在Burt和Adelson的图像分解和重构的塔式算法的启发下，根据多分辨率框架提出的算法。此算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析的地位。

按Mallat算法，我们可以把函数f(x)分解为不同频率通道的成分，并把每一频率通道的成分按相位进行分解，频率越高，相位划分越细，频率越低，相位划分越粗。Mallat算法完全是离散的，便于数值计算。

 

 小 波 分 析  简 介 

课程号：06191120                                

课程名称：小波分析                     英文名称：Wavelet Analysis Theory

周学时：   3-0                             学分：3

预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数

内容简介：

小波变换是80年代后期发展起来的新的数学分支，在函数论、微分方程、信号分析与传输、图象处理方面有着重要的应用。本课程作为小波分析理论的入门课程，主要介绍了小波变换，包括离散小波变换和连续小波变换理论，同时介绍了Gabor变换及测不准原理。本课程还介绍了Mallat的迭代算法，Daubechies的紧支集正交小波构造理论及小波包理论。最后介绍了小波用于刻画函数空间及在微分方程中的应用。

选用教材或参考书：

 

《小波变换及其应用》，李世雄， 高等教育出版社， 1997年

《小波与算子》， Y. 迈耶 著，尤众 译， 世界图书出版公司， 1992年

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

《小 波 分 析》  教学大纲  

      

一、             课程的教学目的和基本要求                

小波变换是80年代后期发展起来的新的数学分支，在函数论、微分方程、信号分析与传输、图象处理方面有着重要的应用。因此，小波分析已被列为应用数学专业及工程应用专业的重要基础课程。

通过对《小波分析》课程的学习，使学生初步掌握离散型小波变换和连续型小波变换的基本理论，熟悉小波变换的起源和应用背景。掌握Mallat的迭代算法及Daubechies的紧支集小波构造方法和理论。为今后的应用和相关课程的学习打下基础。

 

二、             相关教学环节安排                        

        每次课后布置作业，作业量为2-3小时，主要是熟悉基本概念和巩固定理的推导方法。

 

三、             课程主要内容及学时分配                  

        每周6学时，共8周。

（一）   引论                                        3学时

（二）   小波变换的定义与基本性质                    6学时

1．Gabor变换或“窗口”Fourier变换                 1学时

2．小波(Wavelet)变换的定义与基本性质                2学时

3．窗口宽度与Heisenberg不确定原理                  3学时

（三）正交小波基                                    9学时

1．Haar小波基，Shannon小波基                      2学时

2．构造正交小波基的多尺度分析方法                   2学时

3．尺度函数φ(t)的构造方法                           2学时

4．紧支集正交小波基                                 2学时

5．两维正交小波基                                    1学时

（四）小波与取样定理                                 6学时

1．Shannon取样定理及小波取样定理                    3学时

2．利用小波基构造取样定理                            3学时

（五）图象数据压缩与小波变换、小波包                6学时

1．Mallat的小波变换极大模算法                        3学时

2．Karhunen-Loeve变换、小波包与图象数据压缩         3学时

（六）小波与函数空间的基及算子                       6学时

1．线性空间的基                                      3学时

2．函数与算子按小波基展开的算法                      3学时

（七）小波变换与奇性分析                             9学时

1．小波与函数的奇性                                  3学时

2．小波与微局部分析                                  3学时

3．小波与微分方程的奇性传播                          3学时

（八）复习                                           3学时

 

 

四、             教材及主要参考书                       

           《小波变换及其应用》，李世雄， 高等教育出版社， 1997年

          《小波与算子》， Y. 迈耶 著，尤众 译， 世界图书出版公司， 1992年