KMP算法的关键就在于求它的next数组,其next数组其实就是第一位默认为-1,之后的每一位都是前一位的PMT值呀。
有些算法,适合从它产生的动机,如何设计与解决问题这样正向地去介绍。但KMP算法真的不适合这样去学。最好的办法是先搞清楚它所用的数据结构是什么,再搞清楚怎么用,最后为什么的问题就会有恍然大悟的感觉。我试着从这个思路再介绍一下。大家只需要记住一点,PMT是什么东西。然后自己临时推这个算法也是能推出来的,完全不需要死记硬背。KMP算法的核心,是一个被称为部分匹配表(Partial Match Table)的数组。我觉得理解KMP的最大障碍就是很多人在看了很多关于KMP的文章之后,仍然搞不懂PMT中的值代表了什么意思。这里我们抛开所有的枝枝蔓蔓,先来解释一下这个数据到底是什么。对于字符串“abababca”,它的PMT如下表所示:

我先解释一下字符串的前缀和后缀。如果字符串A和B,存在A=BS,其中S是任意的非空字符串,那就称B为A的前缀。例如,”Harry”的前缀包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”},我们把所有前缀组成的集合,称为字符串的前缀集合。同样可以定义后缀A=SB, 其中S是任意的非空字符串,那就称B为A的后缀,例如,”Potter”的后缀包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”},然后把所有后缀组成的集合,称为字符串的后缀集合。要注意的是,字符串本身并不是自己的后缀。
有了这个定义,就可以说明PMT中的值的意义了。PMT中的值是字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度。 例如,对于”aba”,它的前缀集合为{”a”, ”ab”},后缀 集合为{”ba”, ”a”}。两个集合的交集为{”a”},那么长度最长的元素就是字符串”a”了,长 度为1,所以对于”aba”而言,它在PMT表中对应的值就是1。再比如,对于字符串”ababa”,它的前缀集合为{”a”, ”ab”, ”aba”, ”abab”},它的后缀集合为{”baba”, ”aba”, ”ba”, ”a”}, 两个集合的交集为{”a”, ”aba”},其中最长的元素为”aba”,长度为3。
好了,解释清楚这个表是什么之后,我们再来看如何使用这个表来加速字符串的查找,以及这样用的道理是什么。如图 1.12 所示,要在主字符串"ababababca"中查找模式字符串"abababca"。如果在 j 处字符不匹配,那么由于前边所说的模式字符串 PMT 的性质,主字符串中 i 指针之前的 PMT[j −1] 位就一定与模式字符串的第 0 位至第 PMT[j−1] 位是相同的。这是因为主字符串在 i 位失配,也就意味着主字符串从 i−j 到 i 这一段是与模式字符串的 0 到 j 这一段是完全相同的。而我们上面也解释了,模式字符串从 0 到 j−1 ,在这个例子中就是”ababab”,其前缀集合与后缀集合的交集的最长元素为”abab”, 长度为4。所以就可以断言,主字符串中i指针之前的 4 位一定与模式字符串的第0位至第 4 位是相同的,即长度为 4 的后缀与前缀相同。这样一来,我们就可以将这些字符段的比较省略掉。具体的做法是,保持i指针不动,然后将j指针指向模式字符串的PMT[j −1]位即可。
简言之,以图中的例子来说,在 i 处失配,那么主字符串和模式字符串的前边6位就是相同的。又因为模式字符串的前6位,它的前4位前缀和后4位后缀是相同的,所以我们推知主字符串i之前的4位和模式字符串开头的4位是相同的。就是图中的灰色部分。那这部分就不用再比较了。

有了上面的思路,我们就可以使用PMT加速字符串的查找了。我们看到如果是在 j 位 失配,那么影响 j 指针回溯的位置的其实是第 j −1 位的 PMT 值,所以为了编程的方便, 我们不直接使用PMT数组,而是将PMT数组向后偏移一位。我们把新得到的这个数组称为next数组。下面给出根据next数组进行字符串匹配加速的字符串匹配程序。其中要注意的一个技巧是,在把PMT进行向右偏移时,第0位的值,我们将其设成了-1,这只是为了编程的方便,并没有其他的意义。在本节的例子中,next数组如下表所示。

int KMP(char * t, char * p)
{
int i = 0;
int j = 0;
while (i < strlen(t) && j < strlen(p))
{
if (j == -1 || t[i] == p[j])
{
i++;
j++;
}
else
j = next[j];
}
if (j == strlen(p))
return i - j;
else
return -1;
}
好了,讲到这里,其实KMP算法的主体就已经讲解完了。你会发现,其实KMP算法的动机是很简单的,解决的方案也很简单。远没有很多教材和算法书里所讲的那么乱七八糟,只要搞明白了PMT的意义,其实整个算法都迎刃而解。现在,我们再看一下如何编程快速求得next数组。其实,求next数组的过程完全可以看成字符串匹配的过程,即以模式字符串为主字符串,以模式字符串的前缀为目标字符串,一旦字符串匹配成功,那么当前的next值就是匹配成功的字符串的长度。具体来说,就是从模式字符串的第一位(注意,不包括第0位)开始对自身进行匹配运算。 在任一位置,能匹配的最长长度就是当前位置的next值。如下图所示。





求next数组值的程序如下所示:
void getNext(char * p, int * next)
{
next[0] = -1;
int i = 0, j = -1;
while (i < strlen(p))
{
if (j == -1 || p[i] == p[j])
{
++i;
++j;
next[i] = j;
}
else
j = next[j];
}
}
完整样例
import java.util.Arrays;
public class KMP {
public static int strStr(String haystack, String needle) {
if(needle == null || needle.length() < 1)
return 0;
int[] next = getNext(needle);
int index1 = 0, index2 = 0;
while(index1 < haystack.length() && index2 < needle.length()) {
if(index2 == -1 || haystack.charAt(index1) == needle.charAt(index2)) { // 如果相等,指针都向后移动, 或者如果指针指向p字符串的头部则将haystack指针向后移动
index1 ++;
index2 ++;
} else {
index2 = next[index2];
}
}
if(index2 == needle.length())
return index1 - needle.length();
return -1;
}
public static int[] getNext(String needle) {
if(needle.length() < 1 || needle == "")
return null;
int[] next = new int[needle.length()];
next[0] = -1;
int i = 0, j = -1;
while(i < needle.length() - 1) {
if(j == -1 || needle.charAt(i) == needle.charAt(j)) { // 求next其实就是第0位之后的每一位都是前面一位的PMT的值(PMT: 字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度)
i ++;
j ++;
next[i] = j;
} else {
j = next[j];
}
}
System.out.println(Arrays.toString(next));
return next;
}
public static void main(String[] args) {
String haystack = "mississippi";
String needle = "issip";
int res = strStr(haystack, needle);
System.out.println(res);
}
}
作者:海纳
链接:https://www.zhihu.com/question/21923021/answer/281346746
来源:知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。