37、带间隙连续1属性问题的复杂性分析

带间隙连续1属性问题的复杂性分析

在解决一些复杂的计算问题时，带间隙连续1属性（Gapped Consecutive-Ones Property，C1P）问题是一个重要的研究方向。本文将深入探讨该问题的复杂性，特别是在不同参数下的NP完全性。

1. 固定列块与一次交换

在处理二进制矩阵时，我们常常需要确保某些列以特定的顺序排列。这里有一个关键定理，它为NP完全性构造提供了基础。对于一个二进制矩阵 $M$，我们可以添加一组行，使得选定的列集合 $S$ 在 $M$ 的任何 $(d, d - 1, \infty)$ - 连续顺序中保持“在一起”且顺序固定，除了 $S$ 中的两列可能交换位置。这两种可能的列顺序将在后续的3SAT问题归约中表示变量的真值。

为了阐述这个定理，我们需要一些定义：
- 列的连续性 ：如果在矩阵 $M$ 的列顺序 $\pi$ 中，集合 $S = {c_1, \ldots, c_k}$ 中的任意两列之间只有 $S$ 中的列，那么称 $S$ 在 $\pi$ 中是连续的。
- 行的表示 ：在二进制矩阵 $M$ 中，我们用方括号列出该行中包含1的列。例如，$[1, 5, 8]$ 表示第1、5和8列的值为1，其余列的值为0。如果 $S = {2, 4, 6}$，那么 $[S, 7]$ 等价于 $[2, 4, 6, 7]$。

定理1 ：对于每个 $d \geq 3$ 和 $1 < j < 2d - 2$，给定一个具有 $n \geq 2d$ 列的矩阵 $M$，可以向 $M$ 添加 $\binom{2d}{d}