17、基于奇异谱的矩阵补全用于时间序列恢复

基于奇异谱的矩阵补全用于时间序列恢复

1. 引言

在时间序列数据处理中，数据缺失是一个常见的问题。矩阵补全（MC）是解决这一问题的有效方法之一，其关键特性在于成功恢复所需的最小条件，即采样的非相干性和恢复矩阵的低秩性。当可用的先验信息有限时，最小条件集是有益的；而当存在先验信息时，引入额外的约束可以显著提高恢复效果。本文提出了一种基于奇异谱的矩阵补全（SS - MC）方法，利用时间序列的时间动态特性，通过引入额外的字典来增强典型的MC方法。

2. SS - MC算法

• 生成模型 ：考虑根据多通道奇异谱分析（MSSA）方法拼接单个轨迹矩阵形成的截断轨迹矩阵$M$。假设$M$由字典矩阵$D$和系数矩阵$L$的乘积生成，即$M = D L$，且系数矩阵$L$近似低秩。为了对缺失数据的矩阵应用低秩表示方案，引入了随机子采样算子。基于此生成模型，提出的SS - MC公式如下：
  [ \min_{L} |L| * + \mu |P {\Omega}(M - D L)|_F^2 ]
  其中，$D$是一个基本原子字典，它张成一个低秩数据诱导子空间。

• 高效优化 ：由于目标函数中的秩约束，上述问题是NP难的，难以对合理规模的数据进行有效求解。解决方法是将秩约束替换为核范数约束，从而求解：
  [ \min_{L} |L| + \mu |P_{\Omega}(M - D L)| F^2 ]
  为了实现高效恢复，将SS - MC问题重新表述为增广拉格朗日形式。引入中间虚拟变量$Z$和