2、形式语言中复杂度的现代方面

形式语言中复杂度的现代方面

在处理形式语言中的计算问题时，会涉及到诸多复杂度相关的内容。下面通过几个案例研究来深入探讨这些问题。

1. 复杂度相关概念

在复杂度研究领域，需要引入归约的概念，但由于篇幅和其并非本文核心内容，这里不详细介绍，可参考相关综述论文。在这部分复杂度世界里，运行时间中的多对数因子常被忽略，例如用 (O(n^2)) 表示二次运行时间，忽略诸如 ((log(n))^3) 这样的项。Vassilevska Williams 在即将发表的综述中提出了精细粒度复杂度的核心问题：对于每个具有教科书式运行时间 (O(t(n))) 且没有更好已知算法的感兴趣问题，是否存在障碍使得无法获得 (O(t(n)^{1 - \epsilon})) 时间复杂度的算法（(\epsilon > 0)）？这个表述忽略了多对数因子，同时，强指数时间假设（SETH）也完全符合这一系列问题。

2. 案例研究

2.1 字符串到字符串修正（S2S）

编辑距离用于衡量两个字符串 (S) 和 (T) 之间的距离，通过计算将 (S) 转换为 (T) 所需的基本编辑操作数量。该问题的复杂度取决于允许的操作。设 (O) 为允许的操作集合，(O \subseteq {C, D, I, S})，其中：
- (C)：更改（替换一个字母）
- (D)：删除一个字母
- (I)：插入一个字母
- (S)：交换（转置相邻字母）

对于每个 (O)，定义 (O) - 字符串到字符串修正问题（(O) - S2S），输入为字母表 (\Sigma)、字符串 (S, T \in \Sigma^*) 和整数 (k \in N)，问题是：是否