6 搜索算法 -- 二分查找、哈希优化策略

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前言

【注1】：本节二分查找都要求有序，我们规定都是按照从小到大的顺序

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一、二分查找（nums中有序无重复元素）

二分查找最基本的对应下面这个leetcode题：704.二分查找

二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

• 问题：给定一个长度为$n$的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$。示例如下图所示。
  

1 双闭区间写法

下面给出算法流程：我们同样采用闭区间方式

• step1:我们先初始化指针$left=0$和 $right=n-1$ ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 $[0,n-1]$ 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
• step2: while left <= right:循环
  • 计算中点索引 ： mid = left + (right-left)//2
  • 判断 nums[mid] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况。
    （a）当 nums[mid] < target 时，说明 target 在区间[mid+1,right]中，因此执行left=mid+1
    （b）当 nums[mid] > target 时，说明 target 在区间[left,mid-1]中，因此执行right=mid-1
    （c）当 nums[mid] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引 mid。
• step3:若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 -1

def binary_search(nums:List[int],target:int) -> int:
    '''二分查找，双闭区间'''
    # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 left, right 分别指向数组首元素、尾元素
    size = len(nums)
    left, right = 0, size-1
    # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 left > right 时为空,表明越界了）
    while left <= right:
        # 防止大数相加溢出，使用 left + (right-left)//2
        mid = left + (right-left)//2      # 计算中间索引

        if target == nums[mid]:
            return mid
        elif target < nums[mid]:
            # 此情况说明 target 在区间 [left, mid-1] 中
            right = mid - 1
        elif target > nums[mid]:
            # 此情况说明 target 在区间 [mid+1, right] 中
            left = mid + 1
    return -1

if __name__ == "__main__":
    target = 6
    nums = [1, 3, 6, 8, 12, 15, 23, 26, 31, 35]

    # 二分查找（双闭区间）
    index = binary_search(nums, target)
    print("目标元素 6 的索引 = ", index)   # 2

• 算法复杂度分析：
  • 时间复杂度为 $O(logn)$：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 $O(lo{g}_{2}n)$ 。
  • 空间复杂度为$O(1)$ ：指针left和 right使用常数大小空间。

2 左开右闭区间写法

补充：右开区间写法（左闭右开）
上面是完全闭区间的写法，方便对比这里也给出开区间的写法

def binary_search2(nums:List[int],target:int) -> int:
    '''二分查找，左闭右开'''
    size = len(nums)
    left, right = 0, size
    while left < right:
        mid = left + (right - left