leetcode hot100 之 最大正方形

题目

给一个只包含 0 和 1 的 metrix 中，找到只包含 1 的最大正方形，返回其面积。

输入：matrix = [[“1”,“0”,“1”,“0”,“0”],[“1”,“0”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“1”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“0”,“0”,“1”,“0”]]
输出：4

原题链接：https://leetcode.cn/problems/maximal-square/

思路

动态规划。
这道题难点在于 找到转移方程。
设 dp(i, j) 表示以 (i, j) 为右下顶点的正方形的最大变长。
如果 metrix(i, j) 为 0，dp(i, j) = 0；
如果 metrix(i, j) 为 1，则 dp(i, j) = min( dp(i - 1, j), dp(i, j - 1), dp(i - 1, j - 1) ) + 1
即当前的最大正方形的大小，取决于左边、上边，以及左上边 三个最大正方形的大小。

借鉴 lzhlyle 的图，比较容易感性的理解：

图一：受限于左上边的正方形；图二：受限于上边的正方形；图三：受限于左边的正方形。

根据转移方程，便可以知道，初始化只需要初始化第一行和第一列，剩下的通过转移方程求解即可。

• 复杂度分析
  • 时间复杂度 O(mn)。设矩阵宽为m，高为n。
  • 空间复杂度 O(mn)。这里其实还可以优化一下，因为 dp(i, j) 只依赖于 i - 1 和 j - 1，所以可以优化到 O(2 * min(m, n)) ，即 O(min(m, n))

代码

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int max_length = 0;
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();
        // 初始化为 0 
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        // 第一列初始化
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            if (matrix[i][0] == '1') {
                dp[i][0] = 1;
                max_length = 1;
            }
        }
        // 第一行初始化
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (matrix[0][j] == '1') {
                dp[0][j] = 1;
                max_length = 1;
            }
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                    max_length = max(max_length, dp[i][j]);
                }
            }
        }

        return max_length * max_length;
    }
};