冷门科技 —— DFS 序求解 LA

最新推荐文章于 2025-12-01 17:13:03 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-01 17:13:03 发布 · 710 阅读

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#算法

该技巧目前已知的最早来源：我自己。

dfs 序求 k 级祖先无论是在实际效率，空间常数还是好写程度均吊打长链剖分。

定义

dfs 序表示对一棵树进行深度优先搜索得到的结点序列。
设 $d_i$ 为点 $i$ 的深度，其中根的深度为 $1$ 。

算法介绍

考虑现在我们要求节点 $u$ 的第 $k$ 级祖先，设答案为 $f$ ，则 $d_f$ 是已知的。

那我们现在在所有深度是 $d_f$ 的点中找到 $u$ 的祖先即可。

显然， $f$ 是 $u$ 的祖先当且仅当以 $f$ 为根的子树包含以 $u$ 为根的子树。

于是可以转为 dfs 序。

设点 $x$ 的后代在 dfs 序上对应的区间为 $l_x,r_x]$ ，那么查询就是问在深度为 $d_f$ 对应的点对应的区间中，是 $l_u,r_u]$ 的超集的是哪个点，显然只会存在一个，二分秒了。

然后你发现可以将 $l_u$ 或 $r_u$ 丢掉，只保留一个，仍然可以做。

但是保留 $r_u$ 就可以直接用 lower_bound，所以我们选择保留 $r_u$ 。

这是P5903 【模板】树上 K 级祖先的代码。

875 字节，厉不厉害？

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,q,dep[500005],cnt,r[500005];
int nxt[500005],head[500005];
vector<pair<int,int>>vec[500005];
unsigned s;
void add(int u,int v){
	nxt[v]=head[u];
	head[u]=v;
}
inline unsigned get(unsigned x){
	x^=x<<13;
	x^=x>>17;
	x^=x<<5;
	return s=x;
}
void dfs(int u){
	r[u]=++cnt;
	for(int v=head[u];v;v=nxt[v]){
		dep[v]=dep[u]+1;
		dfs(v);
		r[u]=r[v];
	}
	vec[dep[u]].push_back({r[u],u});
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>q>>s;
	int rt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int f(0);
		cin>>f;
		rt+=(!f)*i;
		if(f)add(f,i);
	}
	dep[rt]=1;
	dfs(rt);
	int lst=0,sum=0;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int u=(get(s)^lst)%n+1,k=(get(s)^lst)%dep[u];
		lst=lower_bound(vec[dep[u]-k].begin(),vec[dep[u]-k].end(),make_pair(r[u],-1ll))->second;
		sum^=1ll*i*lst;
	}
	cout<<sum;
	return 0;
}

当然，这份代码显然不是跑得很快的，这份才是：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,dep[500005],cnt,r[500005];
vector<int>g[500005];
vector<pair<int,int>>vec[500005];
unsigned s;
inline unsigned get(unsigned x){
	x^=x<<13;
	x^=x>>17;
	x^=x<<5;
	return s=x;
}
void dfs(int u){
	r[u]=++cnt;
	for(int v:g[u]){
		dep[v]=dep[u]+1;
		dfs(v);
		r[u]=max(r[u],r[v]);
	}
	vec[dep[u]].push_back({r[u],u});
}
void read(auto&x){
	char c(getchar());
	while(c<'0')c=getchar();
	while(c>='0')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}
signed main(){
	read(n),read(q),read(s);
	int rt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int f(0);
		read(f);
		rt+=(!f)*i;
		g[f].push_back(i);
	}
	dep[rt]=1;
	dfs(rt);
	int lst=0;
	long long sum=0;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int u=(get(s)^lst)%n+1,k=(get(s)^lst)%dep[u];
		lst=lower_bound(vec[dep[u]-k].begin(),vec[dep[u]-k].end(),make_pair(r[u],-1))->second;
		sum^=1ll*i*lst;
	}
	cout<<sum;
	return 0;
}