[BZOJ2818] Gcd

最新推荐文章于 2019-05-08 21:43:56 发布

slongle_amazing

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分类专栏：数学—欧拉函数

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本篇介绍了一个算法问题：给定整数N，求解1≤x,y≤N且GCD(x,y)为素数的数对(x,y)的数量。通过枚举素数并利用欧拉函数计算互质数对，最终得出答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Gcd

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MB

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

Sample Output

HINT

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

Source

湖北省队互测

题解

$gcd(x,y)=k,k为素数$
则 $gcd(\frac{x}{k},\frac{y}{k})=1$
$枚举 k, 求 a n s = \sum f [y k], f [i] 为 i 以内所有互质的数的个数, 也就是 f [i] = \sum φ (i)$ $枚举k,求ans=\sum f[\frac{y}{k}],f[i]为i以内所有互质的数的个数,也就是f[i]=\sum\varphi(i)$
$然后他要的是数对所以ans=ans*2$
$但这里面有重复的，即素数与自己(2,2)(3,3)(5,5)...记了两遍，所以ans=ans-len$
$\sum x = 1 n \sum y = 1 n [g c d (x, y) = P] = \sum x = 1 ⌊ n / P ⌋ \sum y = 1 ⌊ n / P ⌋ [g c d (x, y) = 1] = 2 * \sum i = 2 ⌊ n / P ⌋ [ϕ (i) + 1]$ $\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{n} [gcd(x,y)=P]= \sum_{x=1}^{\lfloor n/P \rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor n/P \rfloor}[gcd(x,y)=1]=2*\sum_{i=2}^{\lfloor n/P \rfloor} [\phi (i)+1]$

var
 check:array[0..10000005]of boolean;
 phi,prime:array[0..10000005]of longint;
 sum:array[0..10000005]of int64;
 i,j,len,n:longint;
 ans:int64;
begin
 readln(n); len:=0; phi[1]:=1;
 for i:=2 to n do
  begin
   if check[i]=false
   then begin inc(len); prime[len]:=i; phi[i]:=i-1; end;
   for j:=1 to len do
    begin
     if i*prime[j]>n
     then break;
     check[i*prime[j]]:=true;
     if i mod prime[j]=0
     then begin phi[i*prime[j]]:=phi[i]*prime[j]; break; end
     else phi[i*prime[j]]:=phi[i]*(prime[j]-1);
    end;
  end;
 for i:=1 to n do
  sum[i]:=sum[i-1]+phi[i];
 ans:=0;
 for i:=1 to len do
  inc(ans,sum[n div prime[i]]);
 ans:=ans*2-len;
 writeln(ans);
end.