整数划分

原创于 2018-09-02 20:48:38 发布 · 226 阅读

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本文介绍了一种求解整数划分问题的动态规划算法，通过状态转移方程计算将整数N划分为不同整数之和的方法数量，并给出了具体的实现代码。

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整数划分

将N分为若干个不同整数的和，有多少种不同的划分方式，例如：n = 6，{6} {1,5} {2,4} {1,2,3}，共4种。由于数据较大，输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

Input

输入1个数N(1 <= N <= 50000)。

Output

输出划分的数量Mod 10^9 + 7。

Sample Input

Sample Output

题解：

状态转移方程：f[i][j]:=f[i-j,j]+f[i-j,j-1]。

下面来具体解释一下这个方程:

1、f[i-j,j]表示的是将i分为不包含1(min>=2)的方案总个数，例如，6(=9-3)分成3份可以分为{1,2,3}，则9可以分为{1+1,2+1,3+1}->{2,3,4}

2、f[i-j,j-1]表示的是将i分为包含1(min=1)的方案总个数，例如，6=(=9-3)分成2(=3-1)可以分为{0,1,5}{0,2,4}，则9可以分为{0+1,1+1,5+1}{0+1,2+1,4+1}->{1,2,6}{1,3,5}

至于为什么状态转移方程的f[i-j,j-1]与“数的划分”中的f[i-1,j-1]存在着区别，其根本原因是，一个可以分成相同的数，而另一个则不能。多减的这(j-1)其实是为了保证划分中的数据不存在重复并一定从小到大排列。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int  dp[50050][350];
int main()
{
	int n;
    while(~scanf("%d",&n))
	{
	   int i,j,sum=0;
	   memset(dp,0,sizeof(dp));
	   dp[1][1]=1;
      for (i=1;i<=n;i++)  
        for (j=1;j<min(350,i);j++)
            dp[i][j]=(dp[i-j][j]+dp[i-j][j-1])%1000000007;
            
      for (i=1;i<=350;i++)
        sum=(sum+dp[n][i])%1000000007;
       printf("%d\n",sum);
   }
}