22、数学与图形处理中的常用符号、约定及概念详解

数学与图形处理中的常用符号、约定及概念详解

1. 求和约定

在数学运算里，通常采用爱因斯坦求和约定，也就是对重复两次的指标进行求和。比如：
((x_i - \overline{x}) {\mu}(x_j - \overline{x}) {\mu} \equiv \sum_{\mu}(x_i - \overline{x}) {\mu}(x_j - \overline{x}) {\mu})

此约定同样适用于指标 (i)、(j) ，所以有：
((x_i - \overline{x}) {\mu}(x_i - \overline{x}) {\mu} \equiv \sum_{i}\sum_{\mu}(x_i - \overline{x}) {\mu}(x_i - \overline{x}) {\mu} \equiv \sum_{i}(x_i - \overline{x}) \cdot (x_i - \overline{x}))

不过，该规则存在一个主要例外，即括号内的指标（如 (\cdot(a)) ）不进行求和。所以，(\lambda_a n^{(a)}) 表示一个特定向量 (n^{(a)}) 与标量 (\lambda_a) 相乘，除非特别说明存在求和。像 (c_a a n^{(a)}) 这类三重指标，同样不会自动求和，除非明确声明。

2. 符号与缩写

以下是一些常见的符号及其含义：
|符号|含义|
| ---- | ---- |
| (a) | 一般向量或向量场 |
| ({a_{\mu} : \mu = 1, \ldots, d}) | 向量 (a) 的分量，多数情况下为笛卡尔分量 |
| ((a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})) | 某个三角形 (t_{\alpha}) 的重心坐标、面积坐标 |
| (A) | 一般矩阵 |
| (A_{ij}, A_{\mu i}) | 矩阵 (A) 的元素 |
| (b^{(i)}, b) | 第 (i) 个形状的参数向量，一般形状参数向量 |
| (b_n^k(x)) | (n) 阶的第 (k) 个伯恩斯坦多项式 |
| (\beta_{n,\gamma}) | (n) 维泊松过程中最近邻距离的 (\gamma) 次幂的期望值 |
| (cdf) | 累积分布函数 |
| (C^n) | (n) 次可微的性质 |
| (^nC_k) | 二项式系数，(^nC_k = \frac{n!}{(n - k)!k!}) |
| (\delta(x)) | 狄拉克 (\delta) 函数 |
| (\delta_{ab}) | 克罗内克符号，当 (a \neq b) 时，(\delta_{ab} = 0)；否则 (\delta_{ab} = 1) |
| (D, \overline{D}) | 形状协方差矩阵 |
| (D(y, x)) | 无限维形状的形状协方差函数 |
| (D_{\gamma}(p, g), \overline{D} {\gamma}(p, g), D {KL}(p, g)) | 两个分布 (p) 和 (g) 的 (\gamma) 散度和库尔贝克 - 莱布勒散度 |
| (E[\cdot]) | 期望值 |
| (F) | 特征空间 |
| (g(x), g(\tau)) | 对于流体正则化情况，形状在参数空间坐标 (x) 或切空间坐标 (\tau) 下的诱导黎曼度量，是一个 (n \times n) 的对称矩阵，(n) 为形状的维数 |
| (G(x, y)) | 格林函数 |
| (\hat{G}, \hat{G} {\gamma}, G {\gamma}) | 泛化和 (\gamma) 泛化 |
| (\Gamma(\cdot)) | 伽马函数 |
| (\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}, \Gamma^{\mu} {\alpha\beta}) | 第一类和第二类克里斯托费尔符号 |
| (I) | 单位矩阵 |
| (I) | 输入数据空间 |
| ((i, j), (i, j, k)) | 规则像素或体素网格上的坐标 |
| (K, K(b, c)) | 梅塞尔核函数 |
| (K {ij}, \overline{K} {ij}) | 对于核主成分分析（KPCA）和支持向量机（SVM）方法，非中心（({\Phi^{(i)}}) ）和中心（({\overline{\Phi}^{(i)}}) ）映射数据的核矩阵的 ((ij)) 分量 |
| (KPCA) | 核主成分分析 |
| (\lambda_a) | 某组特征值中的第 (a) 个特征值 |
| (\lambda) | 对于流体，第二粘性系数 |
| (L) | 目标函数 |
| (L, L^{\dagger}, \overline{L}) | 一般微分算子、拉格朗日对偶算子和自对偶微分算子，例如 (L = L^{\dagger}L) |
| (l, L) | 对于最小描述长度（MDL），码字和总消息长度 |
| (MDL) | 最小描述长度 |
| (\mu) | 对于流体，剪切粘性；对于多元高斯分布，分布的均值 |
| (n_m) | 模型的变化模式数量 |
| (n^{(a)}, \overline{n}^{(a)}) | 第 (a) 个特征向量 |
| (n^{(a)}(x)) | 第 (a) 个向量值特征函数 |
| (N) | 由一组特征向量构成的矩阵 |
| (N(x; \mu, D)) | 均值为 (\mu) 、协方差矩阵为 (D) 的多元高斯分布的函数形式 |
| (N(\mu, D)) | 多元高斯分布 |
| (\Omega_i(P), \Omega_i(T(n_S))) | 泊松过程 (P) 或点集 (T(n_S)) 中关于点 (x_i) 的沃罗诺伊胞 |
| (P(\cdot), P_1) | 泊松过程，单位强度的泊松过程 |
| (p {\alpha}, \overline{p} {\alpha}) | 对于线性或递归线性重新参数化，第 (\alpha) 个控制节点 |
| (p(x), p {\alpha}) | 概率密度函数，某个事件 (\alpha) 的概率 |
| (PCA) | 主成分分析 |
| (pdf) | 概率密度函数 |
| (PDE) | 偏微分方程 |
| (PDM) | 点分布模型 |
| (\Phi) | 对于 KPCA 和 SVM 方法，输入空间 (I) 与特征空间 (F) 之间的映射 |
| (\Phi^{(i)}, \Phi(b), \overline{\Phi}^{(i)}, \overline{\Phi}(b)) | 对于 KPCA，第 (i) 个数据点 (b^{(i)}) 或一般点 (b) 在特征空间中的映射点，以及该映射点的非中心和中心位置 |
| (\Phi^{(i)} {\alpha}, \Phi {\alpha}(b), \overline{\Phi}^{(i)} {\alpha}, \overline{\Phi} {\alpha}(b)) | 对于 KPCA，第 (i) 个数据点 (b^{(i)}) 或一般点 (b) 的非中心和中心分量 |
| (\varphi, \varphi_i, \varphi^{-1}) | 重新参数化函数、第 (i) 个重新参数化函数及其逆函数，作用于参数空间 (X) ，使得 (x \in X) 在重新参数化下映射为 (\varphi(x)) ，也可作用于参数化形状及形状之间的对应关系 |
| (\varphi(x), \varphi(x; t)) | 对于流体情况，（与时间相关的）映射，流体粒子随时间的轨迹，(\varphi(x; 0) = x) |
| (\dot{\varphi}(x; t)) | 时间偏导数，(\dot{\varphi}(x; t) = \frac{\partial}{\partial t}\big| {x}\varphi(x; t)) |
| (R, R^+) | 实数集，正实数集 |
| (R^d) | (d) 维欧几里得空间 |
| (\square {\alpha\beta}, \square_{\alpha\gamma\beta\delta}) | 一般矩形，由一对对角节点或四个角节点标识 |
| (S, S_i) | 整个形状，第 (i) 个形状，二维或三维 |
| (S(\cdot)) | 形状函数，(S(x)) 表示形状上的单个点 |
| (S) | 视为流形的形状 |
| (\overline{S}) | 形状流形在欧几里得空间中的特定嵌入 |
| (\overline{S}) | 一组形状的均值 |
| (S^d) | (d) 维球面 |
| (\hat{S}, \hat{S} {\gamma}, S {\gamma}) | 特异性和 (\gamma) 特异性 |
| (SSM) | 统计形状模型 |
| (SVD) | 奇异值分解 |
| (SVM) | 支持向量机 |
| (t) | 时间 |
| (t, t_{\alpha}) | 三角形，三角网格中的第 (\alpha) 个三角形 |
| (\tau_{\alpha\beta}, \tau_{\alpha\beta}, \tau_{\alpha\beta\gamma}) | 对于递归线性重新参数化，子节点相对于其父节点在一维或二维中的分数位置 |
| (\tau) | 对于流体正则化的特定情况，形状切空间中一点的位置，切空间坐标为 ({\tau_{\alpha}}) |
| (T = {x_i}, T(n_S)) | 训练集，由 (n_P) 个点组成，用形状向量 ({x_i : i = 1, \ldots, n_S}) 表示 |
| (T_P) | 流形在点 (P) 处的切平面/空间 |
| ((\theta, \psi)) | 在三维中，单位球面上定义的极坐标，(x = \sin\theta\cos\psi) ，(y = \sin\theta\sin\psi) ，(z = \cos\theta) ，坐标范围为 (0 \leq \theta \leq \pi) ，(0 \leq \psi < 2\pi) |
| (u(x), u(x, t)) | 对于轨迹为 (\varphi(x; t)) 的流体粒子，对应的位移场，(\varphi) 的逆映射 |
| (U(t)) | 对于流体情况，位移场 (u(x, t)) 在像素/体素网格 (X) 上各点取值的串联 |
| (U) | 某个值范围上的均匀分布，或曲面上的均匀分布 |
| (v_{\alpha}, v_{\alpha a}) | 三角形 (t_{\alpha}) 的顶点集，第 (a) 个顶点 |
| ({v_A}, v_A, v_A^i) | 单个三角网格的所有顶点集，第 (A) 个顶点；当考虑多个形状时，(v_A^i) 指第 (i) 个形状的三角剖分中的第 (A) 个节点 |
| (v(x, t)) | 流体的欧拉速度场，(v(x, t) = \dot{\varphi}(\varphi^{-1}(x); t)) |
| (V(t)) | 与 (U(t)) 类似，速度场 (v(x, t)) 在像素/体素网格上的收集值 |
| ((x, y), (x, y, z)) | 二维或三维点的笛卡尔坐标 |
| (x^{(i)}) | 一组点中第 (i) 个形状点的向量位置，坐标为 ({x^{(i)}_{\mu}}) |
| (x^{(i)}_j) | 第 (j) 个形状中第 (i) 个形状点的向量位置 |
| (x) | 空间中的一般点，例如 (x \in R^2) 或 (x \in S^2) ；对于有限维形状表示，由一组形状点组成的形状向量 (x = {x^{(i)} : i = 1, \ldots, n_P}) ；对于图像，整个网格 (x \in X) 中单个像素或体素的位置 |
| (x_i) | 对于有限维形状表示，一组形状向量中的第 (i) 个形状向量 |
| (X) | 一组参数化形状的参数空间 |
| (X) | 图像的整个规则像素或体素网格，图像中所有像素/体素的集合 |
| (Y = {y_A}, Y(M)) | 由模型生成的样本集 ({y_A : A = 1, \ldots, M}) ，与模型概率密度函数具有相同分布 |
| (X, X_i) | 形状 (S) 与参数空间 (X) 之间的映射，或形状 (S_i) 与 (X) 之间的映射，通常为一一映射 |

3. 其他符号

符号	含义
(\forall)	对于所有
(\therefore)	因此
(\exists)	存在
(.\equiv)	定义为
(\propto)	与……成比例
(\approx)	约等于
(\equiv)	等价于
(\cdot) 或 ( \bullet)	向量点积
(\sim)	表示两个形状之间的密集、逐点对应关系，(S_i(x) \sim S_j(x)) 意味着形状 (S_i) 上的点 (S_i(x)) 对应于形状 (S_j) 上的点 (S_j(x))
(\mapsto)	映射，如参数空间 (X \ni x) 到形状 (S) 的映射 (X \mapsto S) ，(x \mapsto S(x) \in S) ；也用于同一参数空间中作为重新参数化的点之间的映射

4. 导数相关

4.1 一般导数

• (\partial_x, dx) ：一般表示关于 (x) 的偏导数和全导数，也可写成 (\frac{\partial}{\partial x}) 和 (\frac{d}{d x}) 。

4.2 特定情况导数

• (\partial_{\alpha}, d_{\alpha}, D_{\alpha}) ：对于流体正则化的特定情况，(\partial_{\alpha}) 表示关于参数空间坐标的第 (\alpha) 个偏导数，(d_{\alpha}) 表示关于其他坐标系（如切空间坐标）的第 (\alpha) 个偏导数，(D_{\alpha}) 是协变导数。
• (\frac{\delta}{\delta u(x)}) ：关于场 (u(x)) 的泛函导数。
• (\nabla) ：向量导数算子，(\nabla f(x) = (\partial_x f, \partial_y f, \partial_z f)) 或 ((\partial_x f, \partial_y f)) （视情况而定）。
• (\nabla^2, \triangle) ：拉普拉斯算子，在三维空间中 (\nabla^2 = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2) 。

5. 距离相关

• (|\cdot|) ：(R^d) 中的通常欧几里得范数。
• (|\cdot|) ：一般范数，或标量的模。

6. 伪代码符号

6.1 变量数据类型

• 非粗体的变量（如 (a, \alpha) ）为标量。
• 非首字母大写的粗体变量（如 (a, \alpha) ）为向量。
• (a^{(i)}) ：向量 (a) 的第 (i) 个元素。
• 首字母大写的粗体变量（如 (A, \Alpha) ）为矩阵。
• (A(i, j)) ：矩阵 (A) 第 (i) 行第 (j) 列的元素。
• (A(i, \cdot)) ：矩阵 (A) 的第 (i) 行作为向量。
• (A(\cdot, j)) ：矩阵 (A) 的第 (j) 列作为向量。
• ({A_k}) ：由 (k) 索引的一组变量。
• (A_k) ：集合 ({A_k}) 中的第 (k) 个元素。
• (A_k(i, j)) ：对于一组矩阵，第 (k) 个矩阵中第 (i) 行第 (j) 列的元素，需注意集合中各矩阵大小不一定相同。

6.2 运算符和符号

• (a \leftarrow b) ：将变量 (b) 的值赋给变量 (a) 。
• (AND, NOT, OR) ：标准逻辑运算符。
• (\lceil a \rceil) ：向上取整运算符，将 (a) 四舍五入到下一个更高的整数。
• (\curvearrowright) ：若此符号出现在行尾，表示过程调用跨该行和下一行分割。
• (\%) ：表示注释，(\%) 之后的任何文本都不是代码的一部分。

7. 表面表示

7.1 三角剖分

表面通常表示为三角网格。三角形列表存储在一个 (n_t \times 3) 的矩阵中。

7.2 形状点

形状点存储在一个 (n_p \times d) 的矩阵中，包含点坐标列表。三角剖分矩阵的每一行包含三个整数，用于引用形状点矩阵的行索引。
以下是一个示例，展示如何访问三角剖分中第 (k) 个三角形的三个节点的坐标：

Shape Points(Triangulation(k, 1), ·),  % node 1
Shape Points(Triangulation(k, 2), ·),  % node 2
Shape Points(Triangulation(k, 3), ·),  % node 3

8. 流程示例

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示从输入数据到得到形状模型的基本流程：

graph LR
    A[输入数据] --> B[数据预处理]
    B --> C[特征提取]
    C --> D[模型训练]
    D --> E[形状模型]

这个流程图展示了一个常见的数据处理流程，从输入数据开始，经过预处理、特征提取和模型训练，最终得到形状模型。在实际应用中，每个步骤可能包含更复杂的操作，例如数据预处理可能包括数据清洗、归一化等；特征提取可能使用各种方法，如主成分分析（PCA）、核主成分分析（KPCA）等；模型训练则根据具体需求选择合适的算法，如统计形状模型（SSM）、支持向量机（SVM）等。

9. 操作步骤总结

9.1 数据处理与模型训练步骤

在实际应用中，从输入数据到得到形状模型，可按以下步骤进行：
1. 输入数据 ：准备好相关的数据，这些数据可能是图像、点云等不同形式。
2. 数据预处理 ：
- 数据清洗 ：去除数据中的噪声、异常值等。例如，在处理图像数据时，可能会去除图像中的椒盐噪声。
- 归一化 ：将数据进行归一化处理，使不同特征具有相同的尺度。常见的归一化方法有最小 - 最大归一化、Z - score 归一化等。
3. 特征提取 ：
- 选择合适的方法 ：可根据数据特点和需求选择主成分分析（PCA）、核主成分分析（KPCA）等方法。
- 执行特征提取 ：按照所选方法的步骤进行操作，得到数据的特征表示。
4. 模型训练 ：
- 选择算法 ：根据具体需求选择统计形状模型（SSM）、支持向量机（SVM）等算法。
- 训练模型 ：使用提取的特征对模型进行训练，调整模型的参数以达到较好的效果。
5. 得到形状模型 ：训练完成后，得到可用于后续分析和应用的形状模型。

9.2 访问三角网格节点坐标步骤

若要访问三角剖分中第 (k) 个三角形的三个节点的坐标，可按以下步骤操作：
1. 确保有存储形状点坐标的矩阵 Shape Points 和存储三角形信息的矩阵 Triangulation 。
2. 根据 Triangulation 矩阵的第 (k) 行的三个整数，分别作为 Shape Points 矩阵的行索引。
3. 使用以下代码访问节点坐标：

Shape Points(Triangulation(k, 1), ·),  % node 1
Shape Points(Triangulation(k, 2), ·),  % node 2
Shape Points(Triangulation(k, 3), ·),  % node 3

10. 常见概念关系梳理

为了更好地理解这些数学与图形处理中的概念，下面梳理一些常见概念之间的关系，以表格形式呈现：
|概念 1|概念 2|关系|
| ---- | ---- | ---- |
|主成分分析（PCA）|核主成分分析（KPCA）|KPCA 是 PCA 的扩展，PCA 是线性的，KPCA 可以处理非线性数据|
|点分布模型（PDM）|统计形状模型（SSM）|PDM 是 SSM 的一种具体实现方式|
|支持向量机（SVM）|核主成分分析（KPCA）|在一些应用中，KPCA 可用于数据的预处理，为 SVM 提供更好的特征表示|
|多元高斯分布 (N(\mu, D))|协方差矩阵 (D)|协方差矩阵 (D) 描述了多元高斯分布中各变量之间的相关性|

11. 应用场景分析

这些数学与图形处理的概念和方法在多个领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 医学图像处理 ：
- 疾病诊断 ：通过统计形状模型（SSM）分析人体器官的形状变化，辅助医生进行疾病诊断。例如，检测骨骼密度降低、分析大脑结构等。
- 图像配准 ：使用非刚性配准方法，如基于流体正则化的方法，将不同时间或不同设备获取的医学图像进行配准，以便进行对比和分析。
2. 计算机视觉 ：
- 目标识别 ：利用形状匹配和特征提取方法，如形状上下文、主成分分析（PCA）等，识别图像中的目标物体。
- 人脸识别 ：通过核主成分分析（KPCA）和支持向量机（SVM）等方法，提取人脸特征并进行识别。
3. 图形建模 ：
- 表面参数化 ：对三维物体的表面进行参数化处理，以便进行后续的建模和渲染。例如，使用三角剖分和重新参数化方法。
- 形状变形 ：使用变形模板和流体动力学模型，实现物体的形状变形效果。

12. 总结

本文详细介绍了数学与图形处理中的常用符号、约定及概念，包括求和约定、各种符号的含义、导数相关概念、距离度量、伪代码符号等。同时，阐述了表面表示的方法，如三角剖分和形状点的存储方式，并给出了访问三角网格节点坐标的示例代码。此外，还梳理了常见概念之间的关系，分析了这些概念和方法在医学图像处理、计算机视觉和图形建模等领域的应用场景。通过对这些内容的学习和理解，有助于在相关领域进行更深入的研究和应用。

下面是一个 mermaid 流程图，展示整个知识体系的结构：

graph LR
    A[数学与图形处理知识体系] --> B[符号与约定]
    A --> C[导数与距离]
    A --> D[伪代码符号]
    A --> E[表面表示]
    A --> F[应用场景]
    B --> B1[求和约定]
    B --> B2[常用符号含义]
    C --> C1[一般导数]
    C --> C2[特定情况导数]
    C --> C3[距离度量]
    D --> D1[变量数据类型]
    D --> D2[运算符和符号]
    E --> E1[三角剖分]
    E --> E2[形状点]
    F --> F1[医学图像处理]
    F --> F2[计算机视觉]
    F --> F3[图形建模]

这个流程图清晰地展示了整个知识体系的结构，从符号与约定、导数与距离等基础知识，到伪代码符号、表面表示等具体内容，最后延伸到医学图像处理、计算机视觉和图形建模等应用场景，帮助读者更好地把握各个部分之间的关系。