6、信号与系统及傅里叶分析知识详解

信号与系统及傅里叶分析知识详解

1. 离散时间信号与系统基础

在离散时间信号与系统的研究中，有诸多重要的概念和问题需要探讨。
- 粒子数量问题 ：假设在时间(n = 0)时，反应堆中有一个(\alpha)粒子，设(\alpha(n))和(\beta(n))分别为时间(n)时反应堆中(\alpha)粒子和(\beta)粒子的数量。通过对描述反应堆行为的耦合差分方程进行处理，先将其解耦，得到关于(\beta(n))的单一差分方程(\beta(n) = 2\beta(n - 1) + 8\beta(n - 2))。结合初始条件(\alpha(0) = 1)和(\beta(0) = 0)，可解得(\alpha(n) = \frac{1}{3}(4)^n + \frac{1}{3}(-2)^n)（(n \geq 0)），(\beta(n) = \frac{1}{3}(4)^n - \frac{1}{3}(-2)^n)（(n \geq 0)），进而可得到时间(n)时反应堆内粒子的总数。
- 离散时间信号的性质
- 周期性 ：对于线性移不变系统，若输入信号(x(n))周期为(N)，即(x(n)=x(n + N))，根据移不变性，输出(y(n))也具有周期(N)，即(y(n)=y(n + N))。但如果系统是线性但移变的，输出不一定是周期性的；若系统是非线性但移不变的，输出是周期性的。
- 奇偶性与功率关系 ：若(x(n) = 0)（(n < 0)），设(P_e)是(x(n))偶数部分的功率，(P_o)是奇数部分的功率，则(P_e \geq