FFT--luoguP3723 [AH2017/HNOI2017]礼物

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#FFT

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本文探讨了如何通过数学技巧最小化两组数据之间的误差平方和。通过设定一个增加的自然数并应用二次函数原理，文章详细解释了求解过程，并提供了一种使用FFT的方法来寻找最优解，同时注意到了精度问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门
可以设增加的自然数为 $c$ ，原式就是 $\sum_{i=1}^n(x_i+c-y_i)^2$
展开以后就是 $\sum_{i=1}^n(x_i^2+2\times x_i\times c-2\times x_i\times y_i-2\times y_i\times c+y_i^2)$
把式子中不变的提出来，就变成了
$\sum_{i=1}^n (x_i^2+y_i^2) +n\times c^2 +2\times (\sum x_i-\sum y_i)\times c-\sum(2\times x_i\times y_i)$

这样的话前面一开始输入的时候就可以求出，中间是一个二次函数，可以用二次函数求最值得方法求出，后面是一个可变的式子，要求它的最大值，就可以通过反转 $x$ 倍长 $y$ 再 $F F T$ 来求。

注意因为 $c$ 是整数，但二次函数顶点坐标不一定是整数，所以要 $- 1, + 1$ 都算一下取 $m i n$

还有这题卡精度！！！最后要 $+ e p s$ 而且 $e p s = 1 e - 2$ 比较好， $w a$ 的五次都贡献给精度了
最后放上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 400005
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-2;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f; 
}

struct complex{
	double x,y;
	complex(double xx=0,double yy=0) {x=xx,y=yy;}
}a[maxn],b[maxn];

complex operator +(complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator -(complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator *(complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}

int n,m,rev[maxn],limit=1,l,sumx,sumy,sqsum,c,ans,mx;

void FFT(complex *F,int type){
	for(int i=0;i<limit;i++)
		if(i<rev[i]) swap(F[i],F[rev[i]]);
	for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
		complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
		for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r){
			complex w(1,0);
			for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){
				complex x=F[j+k],y=F[j+mid+k]*w;
				F[j+k]=x+y,F[j+mid+k]=x-y;
			}
		}
	}
}

int main(){
	n=rd(); m=rd();
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&a[i].x),sumx+=a[i].x,sqsum+=a[i].x*a[i].x;
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&b[i].x),sumy+=b[i].x,sqsum+=b[i].x*b[i].x;
	c=(sumy-sumx)/n; ans=inf;
	for(int i=-1;i<=1;i++) {
		int tmp=c+i;
		ans=min(ans,n*tmp*tmp+2*(sumx-sumy)*tmp);
	}
	for(int i=0;2*i<n;i++) swap(a[i],a[n-i-1]);
	for(int i=0;i<n;i++) b[i+n].x=b[i].x;
	while(limit<3*n) limit<<=1,++l;
	for(int i=0;i<limit;i++)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	FFT(a,1); FFT(b,1);
	for(int i=0;i<limit;i++) a[i]=a[i]*b[i];
	FFT(a,-1);
	for(int i=0;i<limit;i++) mx=max(mx,(int)((a[i].x)/(double)limit+eps));
	printf("%d\n",sqsum+ans-2*mx);
	return 0;
}