@P4427@[BJOI2018]求和 @UPC 6744 [LCA]最近公共祖先问题

最新推荐文章于 2021-03-01 10:23:39 发布

原创最新推荐文章于 2021-03-01 10:23:39 发布 · 226 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#LCA问题 #树上最近公共祖先

ACM进阶之路同时被 2 个专栏收录

207 篇文章

订阅专栏

数据结构

13 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种解决树上路径深度求和问题的方法。针对给定的有根树，文章探讨了如何高效地计算任意两点间路径上各节点深度的k次方和。通过对最近公共祖先的求解及深度的预处理，实现复杂度的有效控制。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接:

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4427#sub

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5293

http://exam.upc.edu.cn/problem.php?id=6744

题目描述

master 对树上的求和非常感兴趣。他生成了一棵有根树，并且希望多次询问这棵树上一段路径上所有节点深度的 kk次方和，而且每次的 kk 可能是不同的。此处节点深度的定义是这个节点到根的路径上的边数。他把这个问题交给了pupil，但pupil 并不会这么复杂的操作，你能帮他解决吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数 nn ，表示树的节点数。

之后 n-1n−1 行每行两个空格隔开的正整数 i, ji,j ，表示树上的一条连接点 ii 和点 jj 的边。

之后一行一个正整数 mm ，表示询问的数量。

之后每行三个空格隔开的正整数 i, j, ki,j,k ，表示询问从点 ii 到点 jj 的路径上所有节点深度的 kk 次方和。由于这个结果可能非常大，输出其对 998244353998244353 取模的结果。

树的节点从 11 开始标号，其中 11 号节点为树的根。

输出格式：

对于每组数据输出一行一个正整数表示取模后的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

33
503245989

说明

样例解释

以下用 d (i)d(i) 表示第 ii 个节点的深度。

对于样例中的树，有 d (1) = 0, d (2) = 1, d (3) = 1, d (4) = 2, d (5) = 2d(1)=0,d(2)=1,d(3)=1,d(4)=2,d(5)=2 。

因此第一个询问答案为 (2^5 + 1^5 + 0^5)\ mod\ 998244353 = 33(25+15+05) mod 998244353=33 ，第二个询问答案为 (2^{45} + 1^{45} + 2^{45})\ mod\ 998244353 = 503245989(245+145+245) mod 998244353=503245989 。

数据范围

对于 30\%30% 的数据， 1 \leq n,m \leq 1001≤n,m≤100 。

对于 60\%60% 的数据， 1 \leq n,m \leq 10001≤n,m≤1000 。

对于 100\%100% 的数据， 1 \leq n,m \leq 300000, 1 \leq k \leq 501≤n,m≤300000,1≤k≤50 。

另外存在5个不计分的hack数据

提示

数据规模较大，请注意使用较快速的输入输出方式。

[题意]

题意很明确求 $\tiny \sum_{u}^{v}deep^k$ ,

[思路] 思路很明确, 数据量很大, 而且求深度有大量重复操作, 所以, 可以求解 u,v得最近公共祖先 anc

在处理 deep[anc] -> deep[u] 和 deep[anc]---> deep[v] 就可以了.这个过程中,我们要求解一个深度得问题.

方法一: 预处理深度的^k 次方, 还有前缀和, 通过前缀和求解

方法二: 在dfs 时 ,处理深度. v = u + qpow(deep[v],k) ; 求解答案时, 用容斥原理 ans[u]+ans[v] - 2*ans[LCA[u,v]] + qpow(dee[LCA[u,v]],k)

详细看代码

[代码君]

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long ll;

const int maxn = 3e5+100;
const int mod = 998244353;
using namespace std;

inline ll qpow(ll a,ll n)
{
    ll res = 1; for(;n;n>>=1) {if(n&1) res = res*a%mod; a =a*a%mod; }return res;
}
struct node{
    int v,next;
}edge[maxn*2];

int head[maxn],cnt;
int fa[maxn];
int deep[maxn];// deep
int anc[maxn][25];
ll rlen[51][maxn];
void add(int u,int v)
{
    edge[cnt]={v,head[u]};
    head[u] = cnt++;
}

void dfs(int u)
{
    for(int i = 1;i<=20;i++)
        anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1];
    for(int i = head[u];i!=-1;i= edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].v;
        if(v!=anc[u][0])
        {
            anc[v][0] = u;
            deep[v] =deep[u]+1;
            for(int i = 0 ;i <=50;i++)
            {
                rlen[i][v] = (rlen[i][u]+qpow(deep[v],i))%mod;
            }
            dfs(v);
        }
    }
}

int LCA(int u,int v)
{
    if(deep[u]<deep[v]) swap(u,v);
    for(int i = 20;i>=0;i--)
    {
        if(deep[anc[u][i]] >=deep[v])
            u =anc[u][i];
    }
    if(u==v) return u;
    for(int i = 20;i>=0;i--)
    {
        if(anc[u][i]!=anc[v][i])
        {
            u = anc[u][i];
            v = anc[v][i];
        }
    }
    return anc[u][0];
}
void init()
{
    cnt = 0;
    memset(head,-1,sizeof(head));

}

int main()
{

    init();
    int n,m,x,y,u,v;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i<n;i++)
    {
        scanf("%d %d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    for(int i =0;i<=50;i++)
        rlen[i][1]=0;
    deep[1] = 0;
    dfs(1);

    int q;
    scanf("%d",&q);
    int kk;
    for(int i =1 ;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&kk);
        int temp =LCA(x,y);
        ll ans = 0;
        ans = (ans + rlen[kk][x]+rlen[kk][y]-2*rlen[kk][temp]+qpow(deep[temp],kk))%mod;
        ans  = (ans +mod) %mod;
        printf("%lld\n",ans);

    }
}
/*
5
1 2
1 3
2 4
2 5
2
1 4 5
5 4 45
*/