01背包问题动态规划做法及其优化

原创已于 2023-10-24 20:13:44 修改 · 131 阅读

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#1024程序员节 #动态规划 #c++

于 2023-10-24 20:12:59 首次发布

讲解01背包问题的解法，通过状态转移方程和空间优化降低空间复杂度。

大家好,欢迎观看本UP发布的第一篇文章,我将讲解01背包问题.

先看题目:

题目描述

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第i件物品的体积是 $v_i$ ,价值是 $w_i$ 。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个正整数, $N$ 和 $V$ ,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积.

接下来有 $N$ 行,每行两个整数 $v_i,w_i$ ,分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值.

输出格式

输出一个整数,表示能装进去的最大价值.

输入样例

输出样例

约定

$0 < N,V \leq 1000$

$0 < v_i,w_i \leq 1000$

解题思路

核心就是找到原问题与子问题的关系，并列出状态转移方程.

这里我们可以定义一个二维数组 $f[i][j]$ ,表示在前 $i$ 件物品中选出总体积不超过 $j$ 的物品，能够获得的最大价值.
对于一个物品,有两种情况：
不选：对于 $f[i][j]$ ，不选第 $i$ 个物品时， $f[i][j]$ 的最优解就是 $f[i-1][j]$ ;
选：如果选择,就让背包容量减去第 $i$ 件的物品体积，加上物品价值，即 $f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]+w[i]$ ;
这样我们就得到了状态转移方程: $f[i][j] = \max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])$ .

基础代码

#include <iostream>
using namespace std;
int f[1100][1100], v[1100], w[1100], V, N;
int main()
{
	cin >> N >> V;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = 1; i <= N; i++) 
	{
		for(int j = 0;j <= V;j++)
		    f[i][j] = f[i-1][j];
		for(int j = v[i];j <= V;j++)
		    f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
    }
	cout << f[N][V] << endl;
	return 0;
}

但是,

空间复杂度:你当我空气啊?

优化!!!

->优化思路

我们可以把 $f$ 数组变成一维数组.现在, $f[j]$ 表示在前 $i$ 件物品中选出总体积不超过 $j$ 的物品，能够获得的最大价值.

状态转移方程: $f[j] = f[j-v[i]]+w[i]$ .

->优化代码

#include <iostream>
using namespace std;
int f[1100], v[1100], w[1100], V, N;
int main()
{
	cin >> N >> V;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = V; j >= v[i]; j--)
			f[j] = max(f[j],f[j - v[i]]+w[i]);
	cout << f[V] << endl;
	return 0;
}

(完)