蓝桥杯第九届之测试次数

蓝桥杯第九届（C/C++B组）题目汇总及解析

标题：测试次数

x星球的居民脾气不太好，但好在他们生气的时候唯一的异常举动是：摔手机。
各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试，并且评定出一个耐摔指数来，之后才允许上市流通。

x星球有很多高耸入云的高塔，刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的，与地球上稍有不同的是，他们的第一层不是地面，而是相当于我们的2楼。

如果手机从第7层扔下去没摔坏，但第8层摔坏了，则手机耐摔指数=7。
特别地，如果手机从第1层扔下去就坏了，则耐摔指数=0。
如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏，则耐摔指数=n

为了减少测试次数，从每个厂家抽样3部手机参加测试。

某次测试的塔高为1000层，如果我们总是采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢？

请填写这个最多测试次数。

注意：需要填写的是一个整数，不要填写任何多余内容。

 

解析：这里需要用到动态规划：dp[i][j]表示还有i个手机没有谁坏，j层楼没有测试的最佳（最少）测试次数

假设现有2部手机提供测试耐摔指数，假设最后测试出来的耐摔指数为x，

那么第一次测试x层，若在x层摔坏则从第一层开始测试到x-1层；

        第二次测试          若没有摔坏则测试x+(x-1)层，若在该层摔坏了则从x+1层开始测试到x+x-1-1层；

        第三次测试           若没有摔坏则测试x+(x-1)+(x-2)层，若在该层摔坏了则从x+x层开始测试到x+(x-1)+(x-2)-1层；

             ：

             ：

综上最后测试的层数为x(x+1)/2>=1000求得x=44

则这里可以推出状态转移公式：dp[2][j]=min(dp[2][j],1+max(dp[1][k-1],dp[2][j-k])),k∈[1,j-1]

*max(dp[1][k-1],dp[2][j-k])表示在k层摔手机，分为两种情况：第一种没有摔坏，那么需要测试从k+1层开始到j层即[k+1,j]，但是题目并没有说层数越高摔坏的几率越大，相反这里每一层的摔坏几率都是一样的，所以[k+1,j]与[1,j-k]是一样的性质，即dp[2][j-k]；第二种摔坏了，那么就需要从1层开始测试到k-1层，且手机数-1，即dp[1][k-1]。又因为要保证所有情况都测试过了，必须要取两者之间的最大值，所以max，又因为在k层测试过了一次所以计算的时候要加1

*min(dp[2][j],1+max(dp[1][k-1],dp[2][j-k]))表示取dp[2][j]的最优解，最小次数

现在回到题目的三部手机可以推出状态转移公式：dp[i][j]=min(dp[i][j],1+max(dp[i-1][k-1],dp[i][j-k])),k∈[1,j-1]

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int dp[5][1010];
    for(int i=1;i<=3;i++)
        for(int j=1;j<=1000;j++)
        dp[i][j]=j;//先初始化最坏的情况即测试次数最多的情况
    for(int i=2;i<=3;i++)//若只有一部手机了那么测试次数一定是最坏的情况所以从2开始枚举
        for(int j=1;j<=1000;j++)
        for(int k=1;k<j;k++)//这里不可以是k<=j因为是要测试[1,j-1]区间内的摔手机次数，若k=j时那么dp还是不变
        dp[i][j]=min(dp[i][j],1+max(dp[i-1][k-1],dp[i][j-k]));
    cout<<dp[3][1000]<<endl;
    return 0;
}

 

答案：19