快乐暑假（八）——欧拉回路和哈密顿回路

欧拉回路

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定义

欧拉回路：图G中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路
欧拉通路：（欧拉路径）：图G中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路
欧拉图：存在欧拉回路的图
半欧拉图：存在欧拉通路的图
极大连通子图：在一个连通子图中，包含和顶点有关所有的边（the more the better），那就是极大连通子图。

判定一个图是否是（半）欧拉图

无向图：

定理1：无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。

推论1：无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数外，所有顶点的度为偶数。

有向图：

定理2：有向图$G$为欧拉图，当且仅当$G$的基图为连通图，且所有顶点的入度等于出度。

注：有向图的基图就是去掉所有方向的无向图。

推论2：有向图$G$为半欧拉图，当且仅当$G$的基图为连通图，且存在顶点$u$的入度比出度大1，$v$的出度比入度大1，且其他的所有顶点的入度等于出度。

对于求解欧拉回路的，我们还需要以下两个性质：

• 设$C$是欧拉图$G$中的一个简单的回路，将$C$中的边从图$G$中删去的带一个新的图$G^1$，则G1{G^{1}}