『最小生成树』Kruskal算法——加边法 （并查集优化 + C++语言编写 + 例题）

『算法原理』

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         在一个连通网的所有生成树中，各边的代价之和最小的那颗生成树称为该连通网的最小代价生成树（Minimum Cost Spanning Tree）,简称最小生成树(MST)。

        Kruskal算法之所以叫加边法，就是因为其本质是一个边一个边地加入到最小生成树中。

算法步骤如下：

设有一无向连通图G，有n个顶点。

• a.将所有边的权值从小到大排列。
• b.遍历所有的边，如果边加入生成树后不形成环，则将该边加入到生成树中
• c.重复b步骤直至所有顶点都被加入到生成树中，即生成树中加入了n-1条边

 

下面用图示来解释这个过程。

 

a.将所有的边从小到大排序

12 19 25 25 26 34 38 46  

b.遍历所有的边，如果边加入生成树后不形成环，则将该边加入到生成树中

 

1).加入权最小的（B，E）

2).加入（C，D）

3).加入（A，F）

3).加入（C，F）

4).加入（F，D），此时发现 F C  D形成一个环，不选

5).加入（F，E） 6个点，到此加入了5条边，生成最小生成树 算法结束

在模拟之后，大家就可以发现，Kruskal算法在代码实现时的最大困难在于“如何判断是否成环”。

模拟的过程中可以发现，n个顶点在初始状态下可看成n个独立的连通块，在不断加边的过程中，边的两端点会连在一起，形成一个连通块，故边的端点在边加入前会出现两种状态

（Vi，Vj为边的两端点）

a.Vi，Vj都属于同一连通块  例：上图中，当要加入（F，D）之前，F 和 D都属于 "A-F-C-D" 这一连通块

b.Vi，