hdu1061 rightmost digit（C语言）

Problem Description

Given a positive integer N, you should output the most right digit of N^N.

 

Input

The input contains several test cases. The first line of the input is a single integer T which is the number of test cases. T test cases follow.
Each test case contains a single positive integer N(1<=N<=1,000,000,000).

 

Output

For each test case, you should output the rightmost digit of N^N.

 

Sample Input

  

   2
3
4
  

 

Sample Output

  

   7
6


   

    

     Hint
    
In the first case, 3 * 3 * 3 = 27, so the rightmost digit is 7.
In the second case, 4 * 4 * 4 * 4 = 256, so the rightmost digit is 6.

   
    
  

 

Author

Ignatius.L

C语言AC代码

法一

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include<math.h>
int main()
{
    int a,d2=0,d3=0,d5=0,d7=0,sum,i,j,m,n,str[20]={0,1,4,7,6,5,6,3,6,9,0,1,6,3,6,5,6,7,4,9};
    while(scanf("%d",&m)!=EOF)
    {
        for(i=0; i<m; i++)
        {
            scanf("%d",&n);
            n=n%20;
            printf("%d\n",str[n]);
        }
    }
}

思路：常规算法时间复杂度过高，所以可以用常规算法先找出规律，个位数20一循环，然后n%20即可，简单暴力。

法二

#include <stdio.h>
int f(int k,int m)
{
    int t;
    if(m==0)return 0;
    if(m==1)return k;
    t=f(k,m/2);
    t*=t;
    if(m%2==1)t*=k;
    return t%10;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int m;
        scanf("%d",&m);
        printf("%d\n",f(m%10,m));
    }
    return 0;
}

题意：求出N^N的个位数 。

思路：用快速幂取余的办法算出。

1快速幂

          快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

        我们求a^b，先将b化为二进制，该二进制的位权是2^(i-1)，（数制中每一固定位置对应的单位值称为位权）当b=7时，a^7=a^(2^0+2^1+2^2)，7的二进制为111，7=2^0*1+2^1*1+2^2*1，因此我们可以将a^7转化为a^2^0*a^2^1*a^2^2,常规算法需要计算7次，用快速幂只需要三次就可以啦。下面要用到二进制运算符中的按位与和移位运算符<<，不清楚的同学先去把这两个搞搞清楚。

贴一下代码再解释：

int pow(int a,int b)
{
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1!=0)
            　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;      　
    }
    return ans;
}

接着上面的b=7说起，b的二进制为111， a^ 2^0*a^2^1*a^2^2是计算顺序。

base*=base;

上面这行代码的目的就是累乘。base^2, base^2*base^2=base^4,base^4*base^4=base^8,base^8*base^8=base^16,base^16*base^16=base^32所以可以看出指数为2^i，7=2^0*1+2^1*1+2^2*1就是这样解决的。
以上快速幂部分转载自  from： http://blog.sina.com.cn/s/blog_9dd49f81010147pu.html（ 转载注明）

2快速幂取余

第一 常规办法，先上代码

int mod(int a, int b, int c){  
    int i, ans = 1;  
    for (i = 0; i < b; i++)  
        ans = (ans * a) % c;    //在这里对c取余是为了防止数据溢出  

    return ans;  
}  

很好理解，不过时间复杂度是个问题呀，还是看快速幂取余吧。

第二 快速幂取余

（By  夜せ︱深   感谢作者）

快速幂取模算法

在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C的人较多~

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊，所以在这里对本文进行了修改，作了更详细的补充，争取让更多的读者一目了然]

我们先从简单的例子入手：求a^b % c = ?

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;
for(int i = 1; i<=b; i++)
{
    ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：a^b%c=(a%c)^b%c.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：a^b%c = (a%c)^b%c

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1; i<=b; i++)
{
    ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1; i<=b; i++)
{
    ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

 

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
    ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1; i<=b/2; i++)
{
    ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

我们就以b为偶数来举例。

a^b%c = ((a^2)^b/2)%c;

在这里我们假设b/2还是偶数，那么

((a^2)^b/2)%c = (((a^2)^2)^(b/2)/2)%c;到这里就可以了.

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
    if(b % 2 == 1)
        ans = (ans * a) % c;
    b = b/2;
    a = (a * a) % c;
}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0)
    {
        if(b % 2 = = 1)
            ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考：

扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。

=？ 求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：

将10进制的b转化成2进制的表达式：

我们先将b按2进制展开假设b = 10, 那么b的二进制为1010，也就是0*2^0+1*2^1+0*2^2+1*2^3 = 10；

所以 a^b = a^(0*2^0+1*2^1+0*2^2+1*2^3 ) = a^(2^1) * a(2^3)；这种简单的转换在初中就学过了吧，相信大家都懂

所以a^b%c = a^(2^1) * a(2^3) % c =( a^(2^1) % c) * (a(2^3)%c)%c；

快幂思想的核心都是二分法，所以时间复杂度都为O(logn)。

注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了，读者自己好好分析，可以联系10进制转2进制的方法]，我们从依次乘到。对于每一项的计算，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时ans不用把它乘起来，[因为这一项值为1]，为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的，读者可以自行分析，这里我说不多说了，希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。