UVA 11426 GCD - Extreme (II)

最新推荐文章于 2023-01-26 22:23:01 发布

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分类专栏： ACM数论文章标签：欧拉函数

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本文介绍了一种高效算法，用于计算1到N内所有数两两间最大公约数(GCD)之和。该算法利用了欧拉函数特性，通过预处理实现了O(N*logN)的时间复杂度。

求欧拉函数值与因数的和

什么是欧拉函数：提供1到N中与N互质的数

int euler(int n){ //返回euler(n)   
     int res=n,a=n;  
     for(int i=2;i*i<=a;i++){  
         if(a%i==0){  
             res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
             while(a%i==0) a/=i;  
         }  
     }  
     if(a>1) res=res/a*(a-1);  
     return res;  
}

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UVA 11426 GCD - Extreme (II)

给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。

相当于计算这段程序（程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数）：

G=0;

for(i=1;i<N;i++)

for(j=i+1;j<=N;j++)

{

G+=gcd(i,j);

}

吐槽（完全不用gcd）

打表后发现

假设a、b(a<b)互质，那么gcd(a,b)=1，这样当i循环到a、j循环到b时就会向结果中+1，而i循环到2*a、j循环到2*b时就会向结果中+2（gcd(2*a,2*b)=2）...循环到k*a和k*b时就会向结果中+k。这样实际上引起结果变化的根源就在于各对互质的数，当i、j循环到他们自身或者自身的倍数时就会引起结果的改变，那么我们不妨先将每对互质的数对结果的贡献值算出来，最后将各对互质的数对结果的贡献累加起来就可以了。

假设和b互质的数有n个，也就是n对(?,b)（?和b互质），那么在i、j循环到?、b时结果会增加n，循环到(2*?,2*b)时结果就会增加2*n...当i、j循环到k*?、k*b时结果就会增加k*n。那么我们不妨用a[i]记录各种k、b在满足k*b=i时会增加多少结果，那么最后我们要输出的就是a[2]+a[3]+...+a[N]。

至于找和b互质的数，就是计算b的欧拉函数的值，然后暴力循环k，并修改对应的a[k*b]即可，整体的复杂度是O(N*logN)的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXD 5000010
const int N=5000010;
typedef long long LL;
LL a[MAXD];
int phi[MAXD];//贡献率（出现次数）


void prep()
{
     memset(a, 0, sizeof(a));
    for(int i = 1; i <= N; i ++) phi[i] = i;
    for(int i = 2; i <= N; i ++)
    {
        if(phi[i] == i)
        {
            for(int j = i; j <= N; j += i)
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
        }
        for(int j = 1; j * i <= N; j ++)
            a[j * i] += j * phi[i];
    }
    for(int i = 1; i <= N; i ++)
    {
        //printf("%lld\n", a[i]);
        a[i] += a[i - 1];
    }
}
int main()
{


    prep();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%lld\n", a[n]);
    }
    return 0;
}