论文选读：Maximizing the Spread of Cascades Using Network Design

Introduction

在社会学和生态学中，经常会有cascade出现。所谓cascade指一个个体的行为被不停传导至网络的其他部分。生态学中提出了一个模型叫metapopulation modeling.
一个常见的问题是个体最大化其在网络中的传播。但是，不好量化随机过程。本文针对这一特点提出了一个优化框架。
这个问题很有现实意义。在商业活动中，选k个人作为初始传播者，使最终的传播最广，这是一个次模问题。贪心可以获得近似最优解。
在metapopulation modeling当中，初始位置确定不能变化，最终的结果也更受地形影响，而不是初始位置。
本文的模型更加通用。不但可以选择初始点，还可以通过增加顶点来影响cascade过程。加边和改变传播概率的操作也可以包括在内。这个问题不次模，所以是个混合整数规划(mixed integer program (MIP))问题。SAA(sample average approximation) 是我们的主要计算工具，它提供了一种解法，数据小时可能overfit，但是数据足够多时可以吻合样例。除了SAA/MIP，还提出了一些预处理的优化技巧。
最终，我们的模型在现实中被用来保护RCW，效果很牛逼。

Problem Statement

2.1 progressive cascade

progressive cascade : 有一组起始点，在图中随机传播使得邻接点active，直到某一时刻无法传播。给了一个target nodes集合$T$，一个有限的management budget，选一些management action使得active的$T$中点最多。点被激活后就永生了。
independent cascade model 每个点激活后只能随机传播一次，无论成功与否
live edge : For each edge $(v,w)\in E$, flip a coin with probability pvw to decide whether the edge is live.
cascade graph: subgraph $G^{\prime }$ consisting of live edges be called the cascade graph
$A=1,2,...L$ – management actions
$c_l$ – cost
$y$ – strategy 0/1 vector
$S$ – Source Set
$T$ – target nodes set
$B$ – Budget
$p_{vw}/p(v,w)$ – 转移概率
Problem:

2.2 Non-progressive Cascade

non-progressive cascade : 被激活的点可能重新变为死点。这种情况下的图可以转化为progressive cascade，只需要为每个时间单独列出一组点，且边只能由 $t$ 时间连向 $t+1$ 即可。
$v^{}$