主成分分析法

这是我的毕业设计记录之2
下面首先介绍一下主成分分析法。

主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）

主成分分析法是一种揭示大样本、多变量数据中各变量或样本之间内在关系的一种方法，其主要作用是降低观测空间的维数，以获取最主要的信息。假设我们的研究对象是一个有n个天体组成的样本，每个天体有m个观测参量（在这里我们的参量是一个个波长点），则观测量可表示为矩阵$X=(x _{ij})_{n \times m}$。PCA方法类似于多元回归分析，即利用m个原始观测变量的线性组合得到的$m'(m' \ll m)$个既能综合反映原来m个参量的信息且彼此间又相互独立的新变量来描述原始数据。这些新变量被称作主成分（principal component，pc），与观测量$x$之间的关系可以表示为：

$$pc=eX={e}_{1}x_{k1}+{e}_{2}x_{k2}+ \dots +{e}_{i}x_{ki}+ \dots +{e}_{m}x_{km}$$
其中 $X=(x _{ij})_{n \times m}$为观测矩阵， $pc$是主成分， $e$为待求的m维特征向量。当 $e$给定后，对 $m$个观测量就可以求出一个出成分。主成分 $pc$应尽可能多的反映原观测量具有的信息，且彼此互不相关；随机变量的信息可由其方差大小表示，而不同的特征向量 $e$可以有不同的方差，PCA就是寻求使pc的方差达到最大的一组特征向量 $e$。
初始的观测矩阵x为：

X=