假设检验（一）总体分布已知

总体分布已知时，对总体X的分布中的参数提出的检验问题又称参数假设检验问题

基本概念

• 原假设：$H_0:\theta \in {\Theta }_0$

• 备择假设：$H_1:\theta \in {\Theta }_1$

• 拒绝域：W={(x1,x2,…,xn):T(x)≥c}W= \lbrace( x_1,x_2,…,x_n):T(x) \ge c\rbraceW={(x1​,x2​,…,xn​):T(x)≥c}

• 接受域：Wc={(x1,x2,…,xn):T(x)&lt;c}W^c= \lbrace( x_1,x_2,…,x_n):T(x) &lt; c\rbraceWc={(x1​,x2​,…,xn​):T(x)<c}

• 拒绝原假设$H_0$：$(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in$ $W$
  其中$T(x)$是能从样本空间划分出拒绝域的统计量，称为检验统计量；$c$是一个待定的常数，称其为检验的临界值

• 检验函数：拒绝域上的示性函数
  

• 第一类错误：$H_0$为真时，拒绝原假设，其概率为：

• 第二类错误：$H_0$为假时，接受原假设，其概率为：

• 检验的势（功效）：当$H_0$不成立时拒绝它的概率（这回是对的）：

• 势函数（功效函数）：检验犯第一类错误的概率：
  
  当$\theta \in {\Theta }_0$时，$g(\theta )=\alpha (\theta )$
  当$\theta \in {\Theta }_1$时，$g(\theta )=\gamma (\theta )$

• Neyman-Pearson检验原理：控制犯第一类错误的概率在给定的范围内，寻找检验量使犯第二类错误的概率尽可能小（即使检验的功效尽可能大），即给定一个较小的数$\alpha \in (0<\alpha <1)$,在满足
  Pθ{P_\theta\lbracePθ​{$x\in W\}=E_{\theta }(\phi (x))\le \alpha ,$ $\theta \in {\Theta }_0$
  的检验函数中，寻找势尽可能大的检验函数

• 水平为$\alpha$的检验：$\phi (x)$满足$E_{\theta }(\phi (x))\le \alpha$,其中$\theta \in {\Theta }_0$，$\alpha (0<\alpha <1)$

• 检验的大小（真实水平）：对任何满足$\alpha <{\alpha }^{\prime }\le 1的{\alpha }^{\prime },\phi (x)也是水平为{\alpha }^{\prime }$的检验，称
  为检验$\phi (x)$的大小或真实水平

正态总体参数的假设检验

单个总体：

前提	检验问题	检验统计量	拒绝域
方差已知	$H_0:\mu ={\mu }_0$	$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$	W={(x1,x2,...,xn):W=\lbrace(x_1,x_2,...,x_n):W={(x1​,x2​,...,xn​):|$z$|>=$z_{1-\frac{\alpha }{2}}$
方差未知	$H_0:\mu ={\mu }_0$	$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$	W={(x1,x2,...,xn):∥t∥>=t1−α2(n−1)W=\lbrace(x_1,x_2,...,x_n):\|t\|>=t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)W={(x1​,x2​,...,xn​):∥t∥>=t1−2α​​(n−1)
均值未知	$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}$	W={χ2⩽χα22(n−1)}∪{χ2⩾χ1−α22(n−1)}W=\lbrace\chi^2\leqslant\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\rbrace\cup\lbrace\chi^2\geqslant\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\rbraceW={χ2⩽χ2α​2​(n−1)}∪{χ2⩾χ1−2α​2​(n−1)}

##两个正态总体

前提	检验统计量
方差已知	$z$~N(0,1)
方差未知但相等	t
方差未知，n1=n2=n	t
方差未知，不等，样本数不同
两个正态总体方差相等