MIT 线性代数导论第九讲：线性相关性、基、维数

最新推荐文章于 2023-08-12 10:28:31 发布

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分类专栏： Linear Algebra 文章标签：线性代数

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本文深入探讨线性代数核心概念，包括向量的线性相关性、生成空间、向量空间的基与维数。解析向量线性相关性的判断方法，介绍生成空间的构成，阐述基的定义及其在生成空间中的作用，最后讨论空间维数的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

本讲的主要内容：

向量的线性相关性
向量组生成空间
向量空间的基、维数

向量线性相关性(dependence)

概念：
对于一组向量 $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ ，如果存在一种组合使得 $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3},...c_{n}x_{n} = 0$ （其中 $c_{1}$ … $c_{n}$ 不全为0）则称这些向量是线性相关的。
那么，反之，如果上面的等式只有全零的解，则这些向量是线性无关的。
从上面的定义中，我们可以推导出几个结论：

如果向量组中有零向量，则向量组一定是线性相关的。（零向量前面系数是几都不会影响结果）
二维平面中任意的三个向量一定是线性相关的，同样，我们可以把这个结论推广到其他维的空间，例如，三维空间中任意的四个向量一定是线性相关的，这个结论使用方程组很好解释，以二维空间为例：三个向量写成矩阵形式也就是 $A(2*3) x = 0 $ 是否存在非零解，显然，之前的结论告诉我们一定是存在非零解的

生成空间（span a space）的概念

概念：
向量组 $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ 生成空间指：所有向量的线性组合构成的空间，这里与列空间的概念是一致的。

向量空间的基

基的概念是一组向量，只是对生成空间的这些向量有要求：

这些向量线性无关
能生成整个空间

那么如何检验一组向量是否是它们生成空间的一组基？
只要吧这些向量构成矩阵，看看是否矩阵可逆就可以了，也就是检查这个矩阵的秩是否等于n就可以了，其实是检查是否存在自由变量，解释如下：
如果这些向量可以成为生成空间的一组基，则它们构成的矩阵有下式成立：
$A x = 0$
也就是 $x$ 只能是零解，才满足线性无关的条件，根据之前几讲的内容，这个齐次方程组只有零解的条件就是没有自由变量，也就是 $r = n$ 也就是可逆了。

除此之外还有一个结论：
对于一个向量空间，它的基有很多组，这些基有一个规律，就是所含的向量数目是一样的。

空间的维数（dimension）

最后的这一部分结合一个例子说：
对于这个矩阵：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &1 \\ 1& 1 & 2 & 1\\ 1& 2& 3 &1 \end{pmatrix}$
结合之前的消元法，我们可以求得矩阵 $A$ 的秩为2，那么矩阵 $A$ 的列空间的维数（dimension）就是2，
接下来考虑对于 $A x = 0$ 方程的零空间的维数是多少？，答案是自由变量的个数，即： $n - r$
简记为：
$\left\{\begin{matrix} dim \enspace C(A) = r\\ dim \enspace N(A) = n-r \end{matrix}\right.$