林轩田-机器学习基石 课堂笔记（六）Theory of Generalzation

1、Restriction of Break Point

回顾一下之前学习到的定5义

①成长函数mH(N)：假设空间在N个样本点上能产生的dichotomy数量，即样本点在二元分类下的组合情况。

②突破点（Break Point）：不能满足完全分类情形（shattered：即N个点所有组合情况都出现）的样本点个数，即不可分出2^N种dichotomy。

之前我们学习了四种情况下的成长函数及它们的Break Point，并作出了一个假设，即2D perceptrons的成长函数是关于O(N^3)的多项式。

现在我们假设分类的最小突破点k=2，计算当N取不同值时的mH(N)是多少。

容易得出N=1时，mH(N)=2；N=2时，mH(N)<2^2=4，因此突破点为2。我们假设mH(N)的最大值为3。

当N=3时

至此都没有shatter。当加入第四种情况时，我们发现x2、x3两个点shatter了，即满足了完全分类情况，违反了k=2，因此删去这种情况。

再加入第四种情况，也没有出现任两个点shatter。第五种情况，加入任何组合都出现了shatter，违反了k=2。

因此为了满足k=2，N=3的情况下，我们最多只能产生4种dichotomy<<2^3=8

从上述例子，我们可以做出一个假设：当N>k时，突破点限制了mH(N)的大小，且mH(N)<=与突破点k有关的某个多项式，那么此时根据Hoeffding不等式，我们可以用有限的mH(N)代替无限的M，从而证实机器学习的可行性。

2、Bounding Function：Basic Cases

引入一个新的概念：上限函数B(N, k)（Bounding Function），指当Breaking Point为k时，成长函数mH(N)可能的最大值。这个函数的出现使我们不再去关注具体的假设是positive rays还是positive intervals，只需了解此假设的突破点，将突破点相同的假设归为一类，便可得到一个上限函数对成长函数作约束，从而简化了问题。

我们通过分析可以得知k=1时，容易得出B(N,1)恒为1；N=k时，由于突破点代表不能完全二分类的情况，因此上限函数为2^N-1；可以当N<k时，此区域所有点都满足完全二分类的情况，因此上限函数为2^N。

3、Bounding  Function：Inductive Cases

现在我们来填表格剩下的部分，从已知的数据我们发现似乎数据之间有一个关系：B(N,k)=B(N-1,k)+B(N-1,k-1)，下面我们试着证实这个关系是否正确。

我们列出B(4,3)的所有二分情况，并通过观察将这些数据进行分组，分成橘色组和紫色组。橘色组中x1、x2、x3两两一致，x4成对出现；紫色组则是单一的，x1、x2、x3

均不相同。设橙色组共有α对二分类，即2α种二分类；紫色部分共有β种二分类，有B(4,3)=11=2*4+3=2α+β。

现在我们去掉x4，去掉重复的x1、x2、x3二分类，得到了如下7(=α+β)种二分类情形，满足x1、x2、x3不能完全二分类，因此有α+β<=B(3,3)。

我们继续丢掉其中的紫色组，由于α中对应的x4成对存在，且条件指出B(4,3)不能被任意三点shatter，因此可以推出α不能被任意两点shatter。因为如果存在α满足任意两点shatter，那么取出x1、x2、x3中任意两列，与删掉的x4结合，那么一定可以得到一种三个点shatter的情形，这就与条件已知的任意三点不能shatter冲突了，因此我们可以得到α<=B(3,2)。

从而我们可以推出B(4,3)=2α+β=(α+β)+α<=B(3,3)+B(3,2)，最终推出通式：

补齐表格上限：

根据递推公式和数学归纳法，我们可以推导出成长函数mH(N)的上限函数B(N,k)的上限为N^(k-1)。

现在我们看看之前介绍的几种问题的mH(N)和它们的Break Point之间的关系。

对于2D perceptron，它的Break Point k=4，而mH(N)的上限为N^(k-1)，因此我们可以知道它的mH(N)<=一个关于N^3的多项式，因此是有限的。

也就是说，针对一个模型，如果我们能找到它的Break Point k，且k是有限大的，那么我们就能推断出其成长函数mH(N)是有限大的，从而让有限的mH(N)代替无限的M，再通过Hoeffding不等式，得出机器学习是有效的这样的结论。

4、A Pictorial Proof

之前我们讨论了mH(N)在何种情况下是有限的，接下来我们需要在Hoeffding不等式中用mH(N)代替M，但是并不是简单的替换，正确的式子如下：

PS：这里的证明我也不是很理解= =，可能有错误的地方，希望大家指正。

该式的证明分为三步：

①我们知道样本大小是固定的，因此Ein是有限的，但是Eout的数据是无限的，因此错误率也是无限多种的。为了解决这个问题，我们用与输入样本一样多的数据集D'（通常我们叫做ghost data）代替无限多的数据，从而估计出有限的Ein'，也许Ein'就能用来代替无限的Eout。

我们将数据点的分布列出来，Eout大概是在Ein'和Ein的中间部分，如果现在有个坏事情发生（Ein和Eout距离很远），那么我在抽一组Ein'的时候，有很大的机会（超过1/2）Ein'和Ein也会距离很远，因此我们可以把Eout用Ein'换掉。

②Ein大小与D有关，Ein’与样本D’有关，如果我们的hypothesis在D和D’上作出一样的dichotomy，那么Ein和Ein’会长一模一样。所以我们只要把所有的hypothesis分成H(x1,…xN,x1’,…xN’)种，这样最多就只有mH(2N)种dichotomy。

之前Hoeffding告诉我们，如果发生坏事情所占的几率只有整个平面的一小块（图a）；如果使用union bound在hypothesis上，那么坏事情的几率如果没有重叠，就应该在整个平面占的满满的（图b）;我们现在要做的事情就是将同类别的坏事情归类在一起（图c）。

③我们用之前的罐子与弹珠的例子来讨论，此时罐子中不再是无限多个弹珠，而是2N个弹珠，无放回的抽N个弹珠来预测剩下弹珠之间的比例。不过这种Hoeffding最后的结果与原来的Hoeffding是类似的，差别就在于我们有一个比较小的罐子和比较小的ε。

至此我们得到了一个新的不等式— —Vapnik-Cheryonenkis(VC) bound来代替Hoeffding:

至此，我们证明得出只要Break Point存在，机器学习就是可行的。