梅氏砝码问题的证明

问题：用4个砝码称出重量在1到40克内的钻石，这4个砝码分别多重（钻石重量为整型）。

解法：梅氏砝码。

假设第i个砝码的重量为a[i]且a[i]>=a[i-1]。i-1个砝码可以表示[1,n](n<=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1])，那么新增砝码i后，可以表示的范围为[1,n]U[a[i]-n,a[i]+n]。为使其连续，所以a[i]-n<=n+1时，即a[i]<=2*n+1<=2*(a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1])+1。因此当a[i]=2*(a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1])+1时候可以获得最优解（i个砝码可以表示范围[1,a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i]）。

所以

a[0]=0

a[1]=2*(a[0])+1=1

a[2]=2*(a[0]+a[1])+1=3

a[3]=2*(a[0]+a[1]+a[2])+1=9

a[4]=2*(a[0]+a[1]+a[2]+a[3])+1=27

......

此时a[0]+a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=40

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