贪心算法

基本思想

子问题：同动态规划一样，也是问题能拆成子问题。

贪心：即只关注当前这一步，从所有选项里选取使当前最优的那个，不关注整体。

自顶向下：该算法是根据当前贪心做出的选择，迭代的来简化，得到规模小的问题。

重要性质

贪心选择：贪心就是上面的解释，但我们的目的还是能得到整体的最优。所以重点是：证明通过每一步的贪心选择能产生整体的最优解，只有这样才有使用贪心算法的必要。（除了不需要最优解情况）

最优子结构：同动态规划，即大问题的最优解包含小问题的最优解。

算法步骤

1. 找出最优解的性质，刻画结构；
2. 递归定义最优值；
3. 自顶向下的思路设计算法；——>找当下最优值然后分裂子问题
4. 根据过程的信息构造最优解；

例：活动安排

问题描述：n个活动E={1,2,...,n}（如n场表演），每个活动都使用同一个资源（如表演场地），且每个活动都有自己使用该资源的起始时间si和结束时间fi（si<fi），两个活动的时间范围有交集则不相容，求在所给的n个活动中选出最大的相容活动集合。

分析：问题的意思就是，在各活动时间不冲突的情况下，尽可能多的选出活动，最多能有多少个。把活动按照结束的时间非减排序，因为结束的越早，在可能的总时长上，后面留出的时间就越多，可以安排的活动也越多。所以可以按照这个顺序判断选择。接下来，根据贪心先选第一个，也就是结束最早的，然后依据它的结束时间，贪心的找到剩下的活动中与其相容的且结束时间最早的那个活动，依次进行下去。

public class ActivityArrange {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] s = {0,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12};
		int[] f = {0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14};
		boolean[] a = new boolean[12];//三个数组都比活动数量多一个，为了从1开始
		int maxNum = greedySlector(s,f,a);
		System.out.println(maxNum);
		//查看集合a，看哪些活动被选中
		for(int i=1;i<a.length;i++) {
			if(a[i])
				System.out.print(i+" ");
		}
	}		
	
	public static int greedySlector(int[] s,int[] f,boolean[] a) {
		/**
		 * 输入活动的开始时间集s，和结束时间集f，已按要求排序
		 * 还有用集合a来标记是否选择活动，若是选对应位值为true，否则为false
		 * 输出整数，表示所能选择的最大的活动数量
		 */
		int n=s.length-1;
		//先选入第一个活动
		a[1]=true;
		int j=1;
		int count=1;
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			if(s[i]>=f[j]) {
				a[i]=true;
				j=i;
				count++;
			}
			else
				a[i]=false;
		}
		return count;
	}
}

输入为4个，分别是活动1（1,4）、活动4（5,7）、活动8（8,11）、活动11（12,14），可以验证该方案为最优解。

再分析：最优选择的特征是，（1）该活动的开始时间，大于，上一活动的结束时间，（开始是0）。（2）同时，该活动的结束时间，是所有满足条件（1）的活动中，最早的。这也是为什么要排序。

为什么该问题的贪心选择能导致最终的整体最优？

（1）已知根据贪心，最先选择的是第一个是活动1。（2）假设问题存在最优组合A，则A中的所有活动相容。（3）若A的第一个活动是活动1，则A就是根据贪心选出的集合。（4）若不是活动1，而是活动k，我们把活动k替换为活动1，因为，所以活动1和集合中{A-{K}}中的元素也是相容的，这样我们把A又变成了以贪心开始的集合。（5）又原A是最优的，那么替换后的A也是最优的。（6）依照这样的路数，每一次贪心选后，分离的新问题形式和原问题一样，也可以由贪心选择。（7）由数学归纳，这样的贪心选择一定能得到整体的最优。

参考文献

[1] 算法设计与分析（第2版） 王晓东