降维方法

kNN

• 首先，k近邻是一种监督学习方法；
• 它的基本思路是这样的：
  给定测试样本，基于某种距离度量找出训练集中与其最靠近的k个训练样本，然后基于这k个邻居的信息来进行预测。如果是分类问题就用投票发，回归问题就用平均法。
• 它的特点是，没有显式的训练过程，lazy learning的代表
• 影响k近邻效果的两个因素;
  
  • k值的选取，灰常重要，不同的k可能会导致不同的预测结果
  • 距离度量方式的选择（前面聚类方法中有提到过常用的距离度量方法）

PCA降维

主成分分析。
从最大可分性的要求进行推导：我们的目标是希望在新空间中的超平面上，样本点的投影尽可能分开，一种数学表达就是投影后的样本点的方差最大化。
假设样本点$x_i$在新空间的投影为：$W^Tx_i$,由于样本已经中心化了，所以投影后的样本点的方差是：$\sum_i W^Tx_ix_i^TW$，于是优化目标就可以写为：

$$max_W tr(W^TXX^TW)\\ s.t. W^TW = I$$ 利用拉格朗日乘子法可得 $$XX^TW=\lambda W$$ 于是只需要对协方差矩阵$XX^T$进行特征值分解，将求得的特征值进行排序，选取前$d'$个特征值对应的特征向量构成$W=(w_1,w_2,\dots,w_{d'})$.
算法流程如下：
- 输入：样本集D，低维空间维数$d'$
- 1.首先对样本进行中心化：$x_i\gets x_i - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_i$
- 2.计算样本的协方差矩阵$XX^T$
- 3.对协方差矩阵进行特征值分解
- 4.取最大的$d'$个特征值所对应的特征向量
- 输出：投影矩阵$W=(w_1,w_2,\dots,w_{d'})$

trick：$d'$的设置：用户指定或者通过在$d'$值不同的低维空间中对k近邻分类器进行交叉验证来选取较好的$d'$值。
另外，可以用奇异值分解方法来代替特征值分解