A New Multiple Folded Successive Cancellation Decoder for Polar Codes

题目：一种新的多折叠连续对消极性码译码器

摘要：本文提出了一种基于折叠概念的极性码连续对消译码器（SCD），该译码器是【1】、【2】中提出的一种新的译码技术，它以较高的极端复杂度为代价来降低译码延迟。在本文中，我们首先正式定义多个折叠操作（迭代k倍），原始编码图分解成许多小极性编码图。更具体的说，我们展示了多重折叠产生了表示极性编码器和SCD的图形的两阶段解释。在此基础上，提出了一种改进的多折叠连续对消器（IMFSCD）.这个编码器展品延迟获得2倍k，仍保留复杂性接近经典的化合物。复杂性的小幅增加是由于在IMFSCD的最后一个解码阶段使用了一个较短的最大似然解码器（MLD）来替代SCD。此外，我们通过仿真观察到，解码器的性能在任何速率下都能与SCD完全相同。

介绍：

Erdal Arikan提出的极性码作为第一个可证明的低复杂度O（N logN）阶编码和译码的编码组，其编码长度为N，引起了广泛的研究兴趣。Arikan提出的原极性码连续对消解码器（SCD）是证明极性码容量定理的一个重要元素。即便在实践中，SCD也具有一些有用的特性，如固定的、确定性的复杂性和良好的错误性能。因此，极性代码对于实际的实现变得越来越有吸引力。实际上，报告了一些实现，其代码长度可达2的17次幂【4】-【7】。

两个著名的SCD的解码延迟问题的顺序（2N-1）单位和糟糕的性能相比，最好的LDPC码长度相同。

有许多【10】-【12】可用于极性编码，相对于SCD，【10】-【12】可提高性能，但这是以更高的复杂性金额更高的延迟为代价的。在这一事实的推动下，相当多的研究集中于改进SCD的错误性能和延迟，复杂度没有增加太多。

折叠式【12】中引入的一种技术，首次应用，一个最大似然(ML)解码算法的极坐标码的代码长度可达256.在【1】、【2】中，使用折叠来降低SCD算法的延迟，但代价是更高的复杂度。复杂性增加了2的2的k次幂在他们最好的实现中，其中k表示折叠的数量。

在我们关于折叠的后期工作中，当我们使用本文提供的折叠的新解释时，我们发现了与【20】中串联极性编码有趣的相似之处。然而，我们的工作在主要目标和方法上都有很大的不同。具体的说，我们的目标是实现高度期望的收益在延迟（高达87%，k=3）使用很短的长度ML译码（k）长度2的k次幂极低的一部分代码。与此相反，【20】试图通过对不同长度的外部代码使用次优、高复杂性和高延迟的解码算法来获得性能上的提高。值得注意的是，使用更小的复杂性解码算法（如CRC）很容易获得这样的性能提升，而无需对原始的polar代码进行重大更改。

在本文中，我们重新讨论了折叠技术在SCD中的应用，并提出了一种改进的配方。我们表明，通过折叠图k乘以极地编码器可以被可视化为两个连接长度极短的编码阶段。在这个新的解释之后，我们在一份阶段使用最大似然解码器（MLD），而另一个阶段使用标准SCD。这就产生了一种新的解码器，其复杂度比【2】中给出的解码器小的多。我们称之为改进的多重折叠连续对消解码器（IMFSCD）。类似于【2】，我们观察到MFSCD展品延迟减少2倍常规SCDk，使用我们的低复杂度解码器实现，我们能够将分析扩展到更长的代码。

以下是我们对本文所做贡献的总结:

• 我们提供一一个新的多重折叠技术的分析公式，允许一系列新的解码器。
• 我们展示了经典的极性编码器可以在两个独立的阶段以相同的复杂性实现。
• 我们证明了在这两个阶段选择不同的编码器可以提出一系列新的编码器。
• 我们证明在目前的框架下，【1】、【2】中对q-ary可靠性的处理是不必要的。这大大降低了复杂性。
• 我们表明，除了重大延迟获得的因素2的k次幂，IMFSCD性能完全相同的利率。

本文的其余部分组织下。第二节介绍了符号，并简要介绍了极坐标编码。在第三节中，我们详细讨论了IMFSCD的主要算法，并进行了仿真，最后在第四节中进行了总结。

极性码：

符号——索引符号用于定义极性代码的编码操作，如下图所示。给定向量x的指标I的任意子集，我们将对应的子向量表示为XI。给定矩阵a的列指标I的任意子集，我们用AI表示相应的子矩阵。

下面的符号讲用于定义多折叠折叠长度为k。给一个矢量，整数l和d的关系为l=L/d，我们将距离为d和长度为l的交织子向量定义为v的子向量的集合，其形式为。此外，如果我们形成一个新的向量叠加所有子向量，结果是一个空心块分界(或矩形分界)排列向量v的分界深度为d。P表示，对于这种转置矩阵，有

极性编码——极地编码是完全指定的三个数组（N,K,F），其中N是比特编码长度，K是每码字编码信息比特数（或代码尺寸）和F是一个子集的N-K指数{0、1……N-1}（冻点位置）。

（N,K,F)极地下面的代码我们描述一个向量的编码操作的信息比特u长度K，让,F的N次克罗内克积

然后，生成一个码字为

其中，来自对应指标，另外

注意，Arikan的原始公式【3】中的冻结位被设置成0.Arikan提出高效实现如图一所示的编码方程（2）.极坐标编码的构造——集合F的选择是极坐标编码中的一个重要步骤，通常称为极坐标编码构造。大量的文献研究了这个操作【3】【20】-【23】。在【21】中提出并在【22】中改进的原始算法是基于巴氏边界的近似。其他人改进了这个近似在一个更高的复杂性。为了简单起见，我们使用原始的构造算法，如【14】中所述。

逐次取消解码器（SCD）-SCD算法基本上遵循图一中相同的编码器图。正如【3】中所解释的那样，这种可能是从右到左的相反方向发展的。在【14】中提供了完整而详细的SCD实现。

改进了多次折叠连续对消译码：

折叠连续对消码是基于【1】、【2】、【12】中引入的思想，利用编码方程中的递归结构及其实现图。下面给出了该技术的正式定义。

折叠操作编码器，考虑下面的编码使用著名的克罗内克积方程改写成编码方程

是长度为的v的子向量

我们可以推断出从（7）给出任何，编码长度为N的编码方程可以表示为几个独立的极短编码的集合，因此，在向量v的划分山，码长，因此我们表示这个分区的编码阶段，基于块极性编码（BPE）阶段。然而，我们需要一个预处理步骤（8）的信息向量d获得v，有趣的是，预处理操作（8）也可以由另一组独立的极地编码器实现编码长度，如下图所示。我们把这个预处理结算称为交错极性编码阶段。显然，这两个阶段产生了编码长度为N的原始极性编码。

回忆一下方阵A和B的克罗内克乘积的下列性质，它们的维度可能不同：

P是一个块分界置换矩阵的行，长度等于方阵A的维度。通过编写Kronecker产品的扩展可以很容易地验证和，然后确定所涉及的排列以匹配它们。

通过（9），我们可以把（8）重写为：

P是相对应的置换矩阵，是块分界的深度。从（12）看，很显眼，我们可以实现IPE阶段运用平行极地编码器的交叉长度为的d的子向量，然后在输送BPE阶段之前去交织它们的输出。图2说明了N=8的折叠过程，k=1，2。注意图2中的三种实现都是等效的极性编码器。下面将详细说明这种新编码器的一般实现。还要注意的是，冻结的位源将以某种方式分散到组件代码中，其中每个组件代码不一定是极性代码。

通过观察图2，可以对BPE阶段进行矢量化每分组比特IPE阶段编码器的输出。BPE阶段编码也可以被视为操作GF(q)，，加法操作符是element-wise XOR比特组件。因此，BPE阶段的每一层都处理v，的子向量，因此实现（7）。

给出了具有折叠式长度为k的多折叠式极性编码器的一种简单解释。考虑一个矩形的交织器，其中两列包含N位。首先，我们用d的元素按列填充交织器内存。然后，在IPE阶段，我们使用编码长度为的极性编码器对所有行进行就地编码。然后，BPE阶段使用编码长度为的极性编码器对所有列并行地就地编码。最后，对存储器进行逐列读取，得到极性码字x。解码器也将采用类似的解释，基于表示位概率的N个实值的矩形存储器。

在解码器上的折叠操作——在解码极性代码时的一个关键元素时反向使用编码器图形。折叠后，我们把编码器图分为两个阶段，进而形成了不同极性编码器的短码长和。通过这种新的解释，我们可以独立地解码每个阶段的每个组件代码，例如BPE阶段可以用标准的连续对消解码器进行解码，IPE阶段可以用MLD或lidt几码器进行解码。

考虑一个矩阵在对BPE阶段编码进行q-ary解释后，我们提出了一种SCD的扩展，在GF(q) 的q-ary符号上对[1][2]中BPE阶段的解码进行SCD的扩展，由图2中的位组构成。因此，在解码器电路的2x2块不同分量上，对每个q-ary符号的概率质量函数(pmf)进行变换(代替二进制符号的似然变换)。这样的pmf转换在其最佳实现中需要)复杂性。在本文中，我们观察到这种q-ary解释是没有必要使用的我们的新解释是因为每个q-ary符号内对应于BPE阶段解码的不同层的比特概率是相互独立的。换句话说,BPE级的层是独立的，因此每个q-ary符号内的位元只能在复杂度为的情况下独立并行处理。这是一个从早些时候的工作【1】，【2】很大的减少的复杂性。

解码器的选择——我们建议在BPE阶段采用标准的SCD算法，在每一层并行，在IPE阶段采用MLD算法，注意，对于小K值IPE阶段MLD处理代码长度为，因此可以忽略不计复杂性。我们命名这个新的解码器一个改进的连续多个折叠取消解码器（IMFSCD）折叠长度k。注意，如果我们在这两个阶段都使用SCD，结果将完全等于代码长度为N的标准SCD算法。通过将SCD替换为MLD，我们期望IMFSCD的性能至少与代码长度为N的标准SCD相同或更好。我们对各种测试用例的模拟验证了这一点。

与编码器类似，可以给出IMFSCD的简单解释。考虑一个矩形衬垫和行，持有N的实际值。矩形交织器内存按自然顺序按列填充，并根据通道观测值计算概率。然后每一行并行解码SCDs的代码长度为。这将导致存储在单独的行上的概率的逐行演化，即众所周知的行位反转顺序。一旦我们有一行比特可能性，我们将它传递给一个MLD的代码长度，使一排决策包括冻结比特。然后，与标准SCD一样，并行的广播适当的极性编码决策。信息位决策分别存储在相似的矩形位交织器中，位于相同的位置，最后按自然顺序逐列读取，输出决策。

图3是我们对IMFSCD下极值码性能的模拟，假设BPSK调制和加性高斯白噪声信道的码长N=8192，速率R=0.8.代码构造取自【14】，并在0dB处执行。这些点表示了IMFSCD在k=1.2.3时与标准化合物的比较。我们将在图看到，IMFSCD可以提供与标准SCD完全相同的性能。

延迟的增益和复杂性IMFSCD——提出MLD IPE-stage取代的化合物，会有更高的复杂性与标准化合物相比，但这增加的价值并不重要只要k很小，例如。注意，前面提出的解码器【1】【2】有一个更高的复杂性增加了在他们最好的实现中，由于q-ary符号处理。

长度为N的IMFSCD的延迟等于长度为的SCD加上IPE的MLD的延迟阶段。然而，与SCD不同，MLD可以高度并行化。因此，延迟的差异可以最小化，减少的（2N-1）关键延迟下最大并行实现。那么IMFSCD的延迟可以被简化为一个值，这是一个显著减少，相比标准化合物。

与串联编码的比较——正如我们前面提到的，使用上述对多重折叠的解释，可以提出一系列新的编码器。这个模型非常类似于带有内部代码和外部代码的串联代码的体系结构。有趣的是，我们可能会注意到，在多折叠架构中，无论是外部代码还是内部代码都不是极性代码（即，解冻位不按标准构造选择）。在IPE阶段，这是由于冻结位随机分布在IPE阶段编码器看到的位上。在BPE 阶段，结冻位的位置与极性代码结构不兼容。

根据这一观察，一个有趣的比较是验证连接的代码与具有相同的速率和代码长度的IMFSCD极性代码相比如何执行。作为一个简单的示例，我们在IPE阶段使用一个奇偶校验代码，并对BPE阶段的所有组件代码使用相同的极性代码。这种选择的动机是，SPC代码是低复杂性的ML可解码代码的经典示例，与IMFSCD中IPE阶段家吗的选择相匹配。调整内部极性代码的速率，以匹配连接代码的总速率。

图4考虑了长度为8的SPC代码与长度为1024的极性代码以总速率R=0.5连接的仿真。我们比较了使用标准SCDs解码N=1024，R=0.5和N=8096，R=0.5处的级联码与极性码的性能。我们看到，与相同长度和速率的经典极坐标代码相比，串联代码的性能更差。这意味着由polar代码构造执行的联合优化比简单的SPC代码连接更强大。进一步的比较留给我们以后的工作。

结论

我们提出了一种新的折叠技术公式，利用该公式我们介绍了标准极性编码器的两极串联解释。在对编码器进行了这种解释之后，我们提出了一种新的低复杂度译码器IMFSCD，它比标准SCD具有更低的延迟。延迟可以提高至取决于毫升阶段的实现，与复杂度显著低于早些时候解码器基于折叠。IMFSCD的性能与SCD完全相同。