跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

方法一

首先就是最笨的方法。

1. n个台阶全部跳1级台阶，有1种跳法。

2. n个台阶有一个跳2级台阶，有$C_{n-1}^1$种跳法。

3. n个台阶有一个跳3级台阶，有$C_{n-2}^2$种跳法。

   …

4. n个台阶有一个跳n/2级台阶，有$C_{n-(n/2-1)}^{n/2-1}$种跳法。

最后相加即可。

public int JumpFloor(int target) {
    if (target <= 0) {
        return 0;
    }

    int i = 0;
    int n = 0;
    while (i <= target / 2) {
        if (i == 0) {
            n += 1;
        } else {
            n += factorial(target - i, i);
        }
        i++;
    }
    return n;
}

/**
* 计算阶乘
*/
public int factorial(int a, int b) {
    long aa = 1, bb = 1;
    for (int i = 0; i < b; i++) {
        aa *= (a - i);
        bb *= (b - i);
    }
    return (int) (aa / bb);
}

方法二

其次可以采用找规律的方法。

f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 5， 可以总结出f(n) = f(n-1) + f(n-2)的规律，但是为什么会出现这样的规律呢？假设现在6个台阶，我们可以从第5跳一步到6，这样的话有多少种方案跳到5就有多少种方案跳到6，另外我们也可以从4跳两步跳到6，跳到4有多少种方案的话，就有多少种方案跳到6，其他的不能从3跳到6什么的啦，所以最后就是f(6) = f(5) + f(4)；这样子也很好理解变态跳台阶的问题了。

public int JumpFloor(int target) {
    if (target <= 0) {
        return 0;
    }

    if (target == 1) {
        return 1;
    }

    if (target == 2) {
        return 2;
    }

    int first = 1;
    int second = 2;
    int third = 0;

    for (int i = 3; i <= target; i++) {
        third = first + second;
        first = second;
        second = third;
    }

    return third;
}

方法三

最后一种方法，可以使用递归来解决。

对于n阶台阶来说，若最后一步跳了一个台阶，则有f(n - 1)种跳法；若最后一步跳了两个台阶，则有f(n-2)种跳法。则有斐波拉起序列
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }n=1\\ 2& \text{if }n=2\\ f(n-1)+f(n-2)& \text{if }n>=3\end{array}$$

public int JumpFloor(int target) {
    if (target <= 0) {
        return 0;
    }

    if (target == 1) {
        return 1;
    } else if (target == 2) {
        return 2;
    } else {
        return JumpFloor(target - 1) + JumpFloor(target - 2);
    }
}