头条笔试0825-合法表达式

头条真的很难！

思路来自于https://www.nowcoder.com/discuss/98697中Gauss的回答，粘在下面：

动态规划求解， dp[i]表示长度为i的合法字符串， dp2[i]表示长度为i的符合以下两种形式的的合法表达式， 形式一：全是数字， 形式二： (合法表达式)， 维护dp[i]的时候，考虑最后一个加号或者减号出现的位置j， dp[i]加上2LL*dp[j]*dp2[i-1-j]，因为枚举的是最后一个加减号的位置，因此右边只能是全数字或者(合法表达式)。为什么要枚举最后一个加减号，就是为了避免重复计算，例如1+2+3，如果不枚举最后一个加号，当枚举到1+2的加号时，左边1和右边2+3可行，当枚举到2+3的加号时，左边1+2和右边3也可行，这样1+2+3会被计算两次。
原作者代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int mod=1000000007;
int dp[1010],f[1010],dp2[1010];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=1000;i++) f[i]=10LL*f[i-1]%mod;
    dp2[0]=dp[0]=0,dp2[1]=dp[1]=10;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-2];
        dp[i]=(dp[i]+f[i])%mod;
        dp2[i]=dp[i];
        for(int j=1;j<i;j++)
            dp[i]=(dp[i]+2LL*dp[j]*dp2[i-1-j])%mod;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}

根据我的理解写一下：
首先：dp2[i]=dp[i-2]+f[i]，这很好理解，dp2[i]表示形如：(1)(合法表达式)或(2)全数字表达式 长度为i的表达式个数。
其次是：dp[i]的计算。dp[i]包括(1)dp2[i] (2)合法表达式+合法表达式 (3)合法表达式-合法表达式 三部分组成，所以dp[i]一开始等于dp2[i]，然后在此基础上加上(2)和(3)两种形式。
最后:对于上述步骤中的(2)和(3)两种形式，维护dp[i]的时候，考虑最后一个加号或者减号出现的位置j， dp[i]加上2LL*dp[j]*dp2[i-1-j]，因为枚举的是最后一个加减号的位置，因此右边只能是全数字或者(合法表达式)。至于为什么考虑最后一个加号或减号出现的位置，参见原作者的解释。

我把代码修改了一下方便自己理解：

#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;

const int mod=1000000007;
int dp[1010],f[1010],dp2[1010];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    f[0]=1;
    cout<<"10LL:"<<10LL<<endl;
    for(int i=1;i<=1000;i++) 
        f[i]=10LL*f[i-1]%mod;
    for(int i=0;i<=15;i++)
        cout<<f[i]<<" ";
    cout<<endl;
    dp2[0]=dp[0]=0,dp2[1]=dp[1]=10;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        dp2[i]=(dp[i-2]+f[i])%mod;
        dp[i]=dp2[i];
        for(int j=1;j<i;j++)
        {   
            dp[i]=(dp[i]+2LL*dp[j]*dp2[i-1-j])%mod;
        }
    }
    cout<<dp[n]<<"   "<<dp2[n]<<endl;
    return 0;
}

---

又看到一个解法，大神果然是大神，粘贴至此以备学习：

#include <iostream>
using namespace std;
long long dp[1002];//存以数字结尾的合法表达式
long long dp2[1002];//存以括号结尾的合法表达式
int main() {
    int a;
    for(int i = 0;i<1002;i++)
    {
        dp[i] = 0;
        dp2[i] = 0;
    }
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 10;
    dp[2] = 100;
    dp[3] = 200+1000;
    dp2[0] = 0;
    dp2[1] = 0;
    dp2[2] = 0;
    dp2[3] = 10;
    while(cin >> a)//注意while处理多个case
    {
        //dp2
        for(int i = 4;i<=a;i++)
        {
            for(int j = i-2;j>=3;j--)
            {
                long long d = (dp[i-j-1]+dp2[i-j-1])%1000000007;
                long long b = (dp[j-2]+dp2[j-2])%1000000007;
                dp2[i] += (2*b*d)%1000000007;
            }
            dp2[i] += (dp[i-2]+dp2[i-2])%1000000007;
            dp[i] = (dp[i-1] + 2*(dp[i-2]+dp2[i-2]))*10%1000000007;
        }

        cout<<((dp[a]+dp2[a])%1000000007)<<endl;
    }
}

这段代码中dp[i]表示以数字结尾的合法字符串；dp2[i]表示以括号结尾的合法字符串大概是这种形式：(合法表达式)，而不是我们(合法表达式)+(合法表达式)的形式。
因此在递推dp2[i]时，需要考虑括号中间有类似 (合法表达式)+(合法表达式)的形式，这部分就是固定最后一个加号或减号遍历，和解法一的思路一样，代码中就是dp2[i] += (2*b*d)%1000000007;