01背包问题分析

 “背包题目”的基本描述是：有一个背包，能盛放的物品总重量为S,设有N件物品，其重量分别为w1，w2，…，wn，希望从N件物品中选择若干物品，所选物品的重量之和恰能放进该背包，即所选物品的重量之和即是S。递归和非递归解法都能求得“背包题目”的一组解，试写出“背包题目”的非递归解法。

解法一：

最初思路就是动态规划，

动态规划求一组解，我们用f[i][j]用来表示前i件物品随意选择一些物品能够恰好装满容量为j的背包的可行性=1，不可行则为0，其中i指的是物品标号，j指的是背包的大小（0~S）；如果j < v[i]:f[i][j] = f[i-1][j] ，表示第i个物品的重量已经超过最大重量j了，则结果变为了前i-1件物品能否恰好装入容量为j的背包的可行性即等于f[i-1][j]；

如果j>=v[i]，此时就可以选择装或者不装第i件物品了，如果装入，则它的可行性就变为了前i-1前物品是否能恰好装入j-vec[i]容量的背包中可行性了；选择不装，则它的可行性变为了前i-1物品能否恰好装入容量为j的背包中可行性了，两者有一个可行，表明前i件物品就能恰好装入容量为j的背包中。f[i][j] = f[i-1][j]||f[i-1][j-vec[i]]

初始化：f[i][0]=1(i=0,1,2,,..n) 其它的f[i][j]都等于0

找出最终的一组解，用回溯就可以了。如果存在可行解，那么f[n][S]一定为1

主要公式为：

代码为：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> packageInteration(int weight[], int S,int n);
void main()
{
	int n=5; 
	int weight[]={4,5,7,9,8};
	int S=20;
	vector<int>res;
	res=packageInteration(weight,S,n);
	
}
vector<int> packageInteration(int weight[], int S,int n)
{
	vector<vector<int>>f;
	vector<int> temp(S+1,0);
	for(int i=0;i<n+1;i++)
	{
		f.push_back(temp);
	}
	for(int i=0;i<n+1;i++)
		f[i][0]=1;
	for(int i=1;i<n+1;i++)
	{
		for(int j=1;j<S+1;j++)
		{
			if(j>=weight[i-1])
				f[i][j]=(f[i-1][j]||f[i-1][j-weight[i-1]]);//注意！！！这里用的是i-1而不是i的原因是，我们物体重量的数组下标是从0开始的，f的0列和0行无意义，是从1开始的。所以差别对待。
			else
				f[i][j]=f[i-1][j];
		}
	}
	int j=S;
	vector<int> res;
	for(int i=n;i>0;i--)
	{
		if(j>=weight[i-1])
		{
			if(f[i][j-weight[i-1]]==1)
			{
				res.push_back(i);
				j=j-weight[i-1];
			}
		}
	}
	return res;
}

这种动态规划的详细分析在博客中有提及，区别是f[i][j]值由总价值变为可行性。http://blog.youkuaiyun.com/sinat_24520925/article/details/42920909

另外值得注意的是：

动态规划的前提是我们的物体重量数组是排序的（由小到大），如果是随机的，我们仿真发现会有问题！！！！这用动态规划关键方程也可解释，j是由小到大的，我们的总重量是增量增加的。