算法导论--公共子序列

作用：

       最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法。

概念

     举个例子，给定两个序列X和Y，如果Z即是X的子序列也是Y的子序列，我们称它为X和Y的公共子序列（common subsequence）。

例如，X=<A,B,C,B,D,A,B>,Y=<B,D,C,A,B,A>,那么序列<B,C,A>就是X和Y 的公共子序列，但它不是X和Y的最长公共子序列（LCS）。

在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

从图中我们看到了最长公共子序列为<B,C,B,A>，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，

但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

 解决方案：

<1> 枚举法

       这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，我们可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列

个数有2⁷个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2^N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次

需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2^N)，可以看出，时间复杂度为指数级，暴力搜索复杂度极高。

 

<2> 动态规划

      既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

第一步：先计算最长公共子序列的长度。

第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁