Indicator random variables --Hat check problem

Indicator random variables

Hat check problem

N个顾客进入一家酒店，把帽子给保管员。走的时候保管员随机把帽子还给顾客，请问多少个顾客可以拿回自己的帽子？

假设$X$为拿回自己帽子的顾客的数目。$X_i$为第$i$个顾客拿回自己帽子的数目（等于概率）。有，

$$X=X_1+X_2+...+X_n$$
关键在于，如何计算每个顾客拿回自己帽子的概率？
转换一下思维，不要认为保管员一个一个地把帽子给顾客，而是认为保管员将帽子随机排列成 $H_?H_?...H_?$， 然后对应顾客列 $X_1X_2...X_n$。不难发现，每个顾客拿到自己帽子的概率为 $P(X_i=1)=1/N$。

所以，

$$E[X]=\sum{E[X_i]}=n*(1/n)=1$$
平均只有一个顾客可以拿回自己的帽子！