「HDU5126」 stars - CDQ分治/四维偏序

最新推荐文章于 2022-03-25 14:46:02 发布

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#CDQ分治 #四维偏序

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本文介绍了一种使用三维树状数组或三维线段树解决三维空间查询问题的方法，并通过离线CDQ分治策略应对大规模数据集。文章详细阐述了如何将时间视为一维，而x、y、z坐标作为另三个维度进行处理，从而将问题转化为四维偏序问题。通过CDQ套CDQ策略，结合树状数组和离散化技巧，有效地解决了三维空间中星体数量的快速查询。

题目描述

约翰喜欢看天空。一天有Q次。每次约翰会在天空中找到一颗新星，或者他想知道 $x_1，y_1，z_1)$ 和 $x_2，y_2，z_2)$ 之间有多少颗星。

输入格式

第一行包含一个整数 $T (1 \leq T \leq 10)$ $(Q ＞ 100$ 的数据少于 $6$ 例 $)$ ，表示测试用例的数量。

每个数据第一行包含一个整数 $Q (1 \leq Q \leq 50000)$ ，表示一天中有多少次。

接下来 $Q$ 行包含一些整数，首先输入一个整数 $A∈{1,2}A\in \{1,2\}$ 。如果 $A = 1$ ，则输入 $3$ 个整数 $x, y, z$ ，表示一个星的坐标。如果 $A = 2$ ，则输入 $6$ 个整数 $x_1，y_1，z_1，x_2，y_2，z_2$ $1≤x,y,z,x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2≤2^{31},x1≤x2,y1≤y2,z1≤z2)$ 。

输出格式

对于每个“ $A = 2$ ”，输出一个整数意味着在这个部分中有多少颗星星。

分析

三维树状数组或三维线段树裸题，但由于坐标范围太广，开数组开不下。于是考虑离线CDQ分治。可以将时间看成一个维度， $x, y, z$ 分别看成第二维，第三维，第四维，再将询问拆分，这样题目就转化为四维偏序问题。可以用CDQ套CDQ来做。第一维时间默认有序，第一个CDQ维护 $x$ 有序，合并 $y$ ；第二个CDQ维护 $y$ 有序，同时用树状数组在 $z$ 上更新答案。由于 $z$ 的范围很大，可以考虑离散化。注意树状数组要开两倍空间，其余要开八倍空间。

至于查询三维部分和，对于一个询问 $x_1,y_1,z_1)$ 为左下角， $x_2,y_2,z_2)$ 为右上角，则里面的和可以用前缀和化为：（用 $s (i, j, k)$ 表示其前缀和）
$\begin{matrix} sum(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)=s(x_2,y_2,z_2)-s(x_1-1,y_2,z_2)-s(x_2,y_1-1,z_2)-s(x_2,y_2,z_1-1)+\\ s(x_1-1,y_1-1,z_2)+s(x_1-1,y_2,z_1-1)+s(x_2,y_1-1,z_1-1)-s(x_1-1,y_1-1,z_1-1) \end{matrix}$

（对于n维，可以简记为奇数个减法是减，偶数个减法是加）

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define mid ((l+r)>>1)
#define debug printf("%d %s\n",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const int N=50010;
struct Query {
	int type,x,y,z,id,v;
}a[N*8],b[N*8],temp[N*8];
int n,T,lsh[N*2],ans[N];
int num,nn,res,qnum,tot;
struct Binary_Indexed_Tree {//树状数组相关 
	int c[N*2];
	void Add(int x,int z) {for (;x<=2*n;x+=(x&-x)) c[x]+=z;}
	int Ask(int x) {for (res=0;x;x-=(x&-x)) res+=c[x];return res;}
	void Clear(int x) {if (!x) return;for (;x<=2*n;x+=(x&-x)) c[x]=0;}
}bit;
int Read() {
	char ch=getchar();
	int s=0,f=1;
	while (ch<'0'||ch>'9') f=(ch=='-'?-1:1),ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return s*f;
}
void Put(int x) {
	if (x<0) {
		putchar('-');
		Put(-x);
		return;
	}
	if (x>9) Put(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
bool cmp1(Query a,Query b) {
	if (a.x!=b.x) return a.x<b.x;
	if (a.y!=b.y) return a.y<b.y;
	if (a.z!=b.z) return a.z<b.z;
	return a.type<b.type;
}
bool cmp2(Query a,Query b) {
	if (a.y!=b.y) return a.y<b.y;
	if (a.z!=b.z) return a.z<b.z;
	return a.type<b.type;
}
void CDQ2(int l,int r) {//第二个CDQ维护y有序
	if (l>=r) return;
	CDQ2(l,mid);
	CDQ2(mid+1,r);
	int p=l,q=mid+1,t=l;
	while (p<=mid&&q<=r) {
		if (cmp2(b[p],b[q])) {
			if (b[p].type==1) bit.Add(b[p].z,1);
			temp[t++]=b[p++];
		} else {
			if (b[q].type==2) ans[b[q].id]+=b[q].v*bit.Ask(b[q].z);
			temp[t++]=b[q++];
		}
	}
	while (q<=r) {
		if (b[q].type==2) ans[b[q].id]+=b[q].v*bit.Ask(b[q].z);
		temp[t++]=b[q++];
	}
	for (int i=l;i<p;i++)
		bit.Clear(b[i].z);
	while (p<=mid) temp[t++]=b[p++];
	for (int i=l;i<=r;i++) b[i]=temp[i];
}
void CDQ1(int l,int r) {//第一个CDQ维护x有序
	if (l>=r) return;
	CDQ1(l,mid);
	CDQ1(mid+1,r);
	int p=l,q=mid+1,t=l;
	int rp=0;
	while (p<=mid&&q<=r) {
		if (cmp1(a[p],a[q])) {
			if (a[p].type==1) b[++rp]=a[p];
			temp[t++]=a[p++];
		} else {
			if (a[q].type==2) b[++rp]=a[q];
			temp[t++]=a[q++];
		}
	}
	while (p<=mid) {
		if (a[p].type==1) b[++rp]=a[p];
		temp[t++]=a[p++];
	}
	while (q<=r) {
		if (a[q].type==2) b[++rp]=a[q];
		temp[t++]=a[q++];
	}
	for (int i=l;i<=r;i++) a[i]=temp[i];
	CDQ2(1,rp);
}
int main() {
	T=Read();
	while (T--) {
		qnum=tot=num=0;
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		memset(bit.c,0,sizeof(bit.c));
		n=Read();
		for (int i=1;i<=n;i++) {
			int op,x1,y1,z1,x2,y2,z2;
			op=Read();
			x1=Read(),y1=Read(),z1=Read();
			if (op==1) {
				a[++qnum]=(Query){1,x1,y1,z1,i,1};
				lsh[++num]=z1;
			} else {
				x2=Read(),y2=Read(),z2=Read();
				++tot;
				x1--;y1--;z1--; 
				lsh[++num]=z1;//记录z值
				lsh[++num]=z2;
				a[++qnum]=(Query){2,x2,y2,z2,tot,1};//拆分询问
				a[++qnum]=(Query){2,x1,y2,z2,tot,-1};
				a[++qnum]=(Query){2,x2,y1,z2,tot,-1};
				a[++qnum]=(Query){2,x2,y2,z1,tot,-1};
				a[++qnum]=(Query){2,x1,y1,z2,tot,1};
				a[++qnum]=(Query){2,x1,y2,z1,tot,1};
				a[++qnum]=(Query){2,x2,y1,z1,tot,1};
				a[++qnum]=(Query){2,x1,y1,z1,tot,-1};
			}
		}
		sort(lsh+1,lsh+num+1);//以下四行离散化
		nn=unique(lsh+1,lsh+num+1)-lsh-1;
		for (int i=1;i<=qnum;i++)
			a[i].z=lower_bound(lsh+1,lsh+nn+1,a[i].z)-lsh;
		CDQ1(1,qnum);
		for (int i=1;i<=tot;i++) Put(ans[i]),putchar('\n');
	}
	return 0;
}