「SHOI2007」园丁的烦恼 - 树状数组

题目描述

很久很久以前，在遥远的大陆上有一个美丽的国家。统治着这个美丽国家的国王是一个园艺爱好者，在他的皇家花园里种植着各种奇花异草。

有一天国王漫步在花园里，若有所思，他问一个园丁道： “最近我在思索一个问题，如果我们把花坛摆成六个六角形，那么……”

“那么本质上它是一个深度优先搜索，陛下”，园丁深深地向国王鞠了一躬。

“嗯……我听说有一种怪物叫九头蛇，它非常贪吃苹果树……”

“是的，显然这是一道经典的动态规划题，早在N元4002年我们就已经发现了其中的奥秘了，陛下”。

“该死的，你究竟是什么来头？”

“陛下息怒，干我们的这行经常莫名其妙地被问到和OI有关的题目，我也是为了预防万一啊！” 王者的尊严受到了伤害，这是不可容忍的。

看来一般的难题是难不倒这位园丁的，国王最后打算用车轮战来消耗他的实力： “年轻人，在我的花园里的每一棵树可以用一个整数坐标来表示，一会儿，我的骑士们会来轮番询问你某一个矩阵内有多少树，如果你不能立即答对，你就准备走人吧！”说完，国王气呼呼地先走了。

这下轮到园丁傻眼了，他没有准备过这样的问题。所幸的是，作为“全国园丁保护联盟”的会长——你，可以成为他的最后一根救命稻草。

输入格式

第一行有两个整数n，m（0≤n≤500000，1≤m≤500000）。n代表皇家花园的树木的总数，m代表骑士们询问的次数。

文件接下来的n行，每行都有两个整数xi，yi，代表第i棵树的坐标（0≤xi，yi≤10000000）。

文件的最后m行，每行都有四个整数aj，bj，cj，dj，表示第j次询问，其中所问的矩形以（aj，bj）为左下坐标，以（cj，dj）为右上坐标。

输出格式

共输出m行，每行一个整数，即回答国王以（aj，bj）和（cj，dj）为界的矩形里有多少棵树。

分析

首先，这题肯定可以用CDQ分治来做，将开始的n行看作修改操作。但能不能优化呢？由于本题的特殊性，一开始就把所有的修改操作全都读入进来，接下来只是查询。我们可以将一个查询$(a,b)-(x,y)$用前缀和的思想拆为$(x,y),(x,b-1),(a-1,b-1),(a-1,y)$四个查询，需要计算时，直接根据贡献$(1$或$-1)$加入答案序列中。然后将所有的操作，包括修改与查询，分别记录在两个数组中，按照x排序，用CDQ分治合并的思想，两个指针移动，并在树状数组中对应的y进行更新。最后输出答案。

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int INF=0x7ffffff;
const int N=500005;
const int M=10000010;
struct Query {
	int x,y,type;
	int w,id;
	bool operator<(const Query&a) const {
		if (x!=a.x) return x<a.x;//按照x排序 
		if (y!=a.y) return y<a.y;//相同则按照y排序 
		return type<a.type;//修改优先于查询 
	}
}u[N],q[N*4];
int n,m,unum,qnum;
int ans[N],maxx;
struct Bit {
	int c[M];
	#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
	int Ask(int x) {
		int ret=0;
		while (x) {
			ret+=c[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ret;
	}
	void Updata(int x,int v) {
		while (x<=maxx) {
			c[x]+=v;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
}bit;
inline int read() {
    char x=getchar();
    int s=0, f=1;
    while (x<'0'||x>'9') {
        if(x=='-') f=-1;
        x=getchar();
    }
    while (x>='0'&&x<='9') {
        s=s*10+x-'0';
        x=getchar();
    }
    return s*f;
}
int main() {
	n=read();
	m=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		int x=read(),y=read();
		x+=2;//+2为了防止下标为0 
		y+=2;
		u[++unum]=(Query){x,y,1,0,0};
		maxx=max(maxx,max(x,y));
	}
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		int x=read(),y=read();
		int xx=read(),yy=read();
		x+=2;
		y+=2;
		xx+=2;
		yy+=2;
		q[++qnum]=(Query){x-1,y-1,2,1,i};
		q[++qnum]=(Query){xx,yy,2,1,i};
		q[++qnum]=(Query){xx,y-1,2,-1,i};
		q[++qnum]=(Query){x-1,yy,2,-1,i};
		maxx=max(maxx,max(max(x,y),max(xx,yy)));
	}
	sort(u+1,u+unum+1);
	sort(q+1,q+qnum+1);
	int i=1,j=1;
	while (i<=unum&&j<=qnum) {
		if (u[i]<q[j]) {
			bit.Updata(u[i].y,1);
			i++;
		} else {
			ans[q[j].id]+=q[j].w*bit.Ask(q[j].y);
			j++;
		}
	}
	while (j<=qnum) {
		ans[q[j].id]+=q[j].w*bit.Ask(q[j].y);
		j++;
	}
	for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}