「NOIP2018模拟赛」 T4 - 并查集+区间Dp

题目描述

小 Z 上英语课思考数学问题被英语老师发现啦~

英语老师：「你这么爱胡思乱想我问你一道英语题吧」

小 Z 想跑，但是已经来不及了。

英语老师：「我们定义一个回文串是正方读起来相同的字符串」

小 Z:「这个简单，不就是像 $"abba"$$"aba"$这样的吗」

英语老师：「现在给你一个长度为 $n$ 的字符串，要你求出他的最长回文子序列」

小 Z：「子序列是不连续的吧? 好的我知道了」

小 Z 轻松的解决了这个问题，并把他修改了一下交给你。
　　
现在一个字符串变成了 $m$ 个数字，会魔法的小 Z 可以把一个数字 $x$ 根据变换规则变成 $y$，给定所有的变换规则，要你求出这个数字串的最长回文子序列。

输入格式

第一行输入 3 个正整数 $n$，$k$ 和 $m$，$k$ 是转换规则的个数。

第二行开始的 k 行，每行两个正整数 $x$ 和 $y$，表示数字 $x$ 可以变成数字 $y$, 并且数字 $y$ 可以变成数字 $x$。注意，如果数字 $x$ 可以变成数字 $y$,并且数字 $y$ 可以变成数字 $z$，那么数字 $x$ 也可以便成数字 $z$。$x$ 可能等于 $y$，同一对$(x,y)$可能重复出现。

最后一行输入 $m$ 个正整数，表示题目中所提的数字串，每个数 $\le n$。

输出格式

输出一行一个数表示答案。

数据范围

对于 20% 的数据：$n,k,m\le 10$；

对于 40% 的数据：$n,k,m\le 200$；

对于 100% 的数据：$n\le 10^5，k\le 10^6，m\le 10^3，1\le x，y\le n$。

分析

首先可以想到的是，对于可以互相转化的数字，把他们都变成一样的数字会有最优解。于是可以用并查集维护，将可以互相转化的数字合并，最后将每个数变成它的祖先。然后可以用Dp。定义$f[i][j]$为区间$[i,j]$内的最长回文子序列，容易知道$f[i][i]=1$。然后就可以知道：
f[i][j]=max⁡{f[i+1][j],f[i][j−1],f[i+1][j−1]+2(a[i]==b[j])}f[i][j]=\max\{f[i+1][j],f[i][j-1],f[i+1][j-1]+2(a[i]==b[j])\}f[i][j]=max{f[i+1][j],f[i][j−1],f[i+1][j−1]+2(a[i]==b[j])}
然后就可以愉快的$AC$了

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <ctime>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
int f[N];
int d[1005][1005];
int n,k,m;
int a[1005],ans;
int getf(int x) {
	return f[x]==x?x:f[x]=getf(f[x]);
}
int main() {
//	freopen("d.in","r",stdin);
//	freopen("d.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		f[i]=i;
	}
	for (int i=1;i<=k;i++) {
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		u=getf(u);
		v=getf(v);
		if (u!=v) f[v]=u;
	}
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]=getf(a[i]);
		d[i][i]=1;
	}
	for (int len=2;len<=m;len++) {
		for (int i=1;i+len-1<=m;i++) {
			int j=i+len-1;
			if (a[i]==a[j]) d[i][j]=d[i+1][j-1]+2;
			else d[i][j]=max(d[i][j-1],d[i+1][j]);
		}
	}
	printf("%d",d[1][m]);
	return 0;
}