「BSOJ1645」矩阵相乘提高版 - 区间Dp

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本文介绍了一种解决矩阵连乘问题的动态规划方法，旨在寻找最优的矩阵相乘顺序，以达到最小化计算成本的目的。通过定义状态转移方程，实现了对问题的有效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

有n个矩阵相乘，保证可以相乘。对于A(n*m)，B(m*k)两个矩阵，定义相乘的复杂度为相乘所做的乘法次数，即n*m*k。几个连乘的矩阵的复杂度为相乘的复杂度之和，可以通过改变运算顺序改变其复杂度，求出最小的复杂度。

分析

很明显，这是一道区间DP的题。定义 $f[i][j]$ 为第 $i$ 个矩阵到第 $j$ 个矩阵连乘的最小复杂度。可以知道

$f[i][j]= \min_{i\le k<j} \{f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]\times b[j]\times a[k]\}$

其中， $a[i]$ 表示第i个矩阵的行数， $b[i]$ 表示第i个矩阵的列数。然后代码就很简单了。

代码

#include <cstdio>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
int n;
int a[105],b[105];
int f[105][105];
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
	for (int len=2;len<=n;len++) {
		for (int i=1;i<=n-len+1;i++) {
			int j=i+len-1;
			f[i][j]=0x7fffffff/2;
			for (int k=i;k<j;k++) {
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*b[j]*b[k]);
			}
		}
	}
	printf("%d",f[1][n]);
	return 0;
}