数据结构与算法-树1

1.树的定义

树（Tree）是n（n≥0）个有限数据元素的集合。当n＝0 时，称这棵树为空树。在一棵非树T 中：
（1）有一个特殊的数据元素称为树的根结点，根结点没有前驱结点。
（2）若n>1，除根结点之外的其余数据元素被分成m（m>0）个互不相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是一棵树。树T1，T2，…，Tm 称为这个根结点的子树。

可以看出，树是一种一对多的概念，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此，树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。

树的定义还可形式化的描述为二元组的形式：

T＝（D，R）

其中D 为树T 中结点的集合，R 为树中结点之间关系的集合。

当树为空树时，D＝Φ；当树T 不为空树时有：

D＝{Root}∪DF

其中，Root 为树T 的根结点，DF 为树T 的根Root 的子树集合。DF 可由下式表示：

DF＝D1∪D2∪…∪Dm 且Di∩Dj＝Φ（i≠j，1≤i≤m，1≤j≤m）

当树T 中结点个数n≤1 时，R＝Φ；当树T 中结点个数n>1 时有：

R＝{<Root，ri>，i＝1，2，…，m}

其中，Root 为树T 的根结点，ri 是树T 的根结点Root 的子树Ti 的根结点。

树定义的形式化，主要用于树的理论描述。

图7.1(a)是一棵具有9 个结点的树，即T＝{A，B，C，…，H，I}，结点A 为树T 的根结点，除根结点A 之外的其余结点分为两个不相交的集合： T1＝{B,D,E,F,H,I}和T2={C,G}，T1 和T2 构成了结点A 的两棵子树，T1 和T2 本身也分别是一棵树。例如，子树T1 的根结点为B，其余结点又分为两个不相交的集合：T11＝{D}，T12＝{E,H,I}和T13＝{F}。

T11、T12 和T13 构成了子树T1 的根结点B 的三棵子树。如此可继续向下分为更小的子树，直到每棵子树只有一个根结点为止。

从树的定义和图7.1(a)的示例可以看出，树具有下面两个特点：
（1）树的根结点没有前驱结点，除根结点之外的所有结点有且只有一个前驱结点。
（2）树中所有结点可以有零个或多个后继结点。

由此特点可知，图7.1(b)、(c)、(d)所示的都不是树结构（互不相交）。

2.树的储存结构

储存结构分为顺序储存结构和链式储存结构。

顺序储存结构是用一段连续的地址储存数据元素，一般通过数组表示。

链式储存结构是通过指针来链接到下一个元素。

对于树的表示需要结合两者。

一双亲表示法

我们以一组连续的空间储存树的节点，同时在节点中附带一个指示器标示双亲在链表中的位置。

这种储存结构的好处是，我们能够很容易的找到一个节点的父节点，O(1)，但是想找到一个节点的子节点需要遍历整个链表。

二孩子表示法

每个节点有多个指针域分别指向一颗子树的根节点。我们把它叫做多重链表表示法。

但是每个节点的度是不一样，给这种表示法带来了一定的困难。

有两种方案解决这个问题：

第一种，指针域的个数等于树的度，即各个节点度的最大值。

第二种，每个节点指针域的个数等于该节点的度，并设立一个专门的域来保存节点的度。

第一种方法对于树中度差别很大的情况下极度的浪费了空间。

第二种方法虽然克服了浪费空间的问题，但是各个链表的长度不一样，这给操作带来一定的困难。

这就引出了我们的孩子表示法。

每个节点的孩子节点以单链表的形式储存起来，n个头指针又组成一个链表，以顺序表示法储存起来。

三孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的节点的第一个孩子节点存在一定是唯一的，它的右兄弟节点存在也一定是唯一的。

我们可以对任意一棵树进行改造，它很容易的把任意棵树变成二叉树。