欧几里得扩展算法详解及POJ1061

最初是在PKU的acm上刷题，刚接触1061青蛙的约会这道题的时候写了个简单暴力的方法，在一定范围内感觉挺对的，但是提交后WA了，于是在一起K题的战友那里第一次听说了这个算法——欧几里得扩展算法。费了很大的劲之后，终于有些了解这个算法了，在这记录下。

所谓扩展欧几里得算法就是给定一组a,b，求aX+bY=gcd(a,b)的解（gcd表示最大公约数，根据数论中的知识，这个方程一定有解）。下面是求解的代码：

 

	public static int x,y;
	public static int extendgcd(int a,int b){
		if(b==0){
			x=1;
			y=0;
			return a;
		}
		int d=extendgcd(b,a%b);
		int temp=x;
		x=y;
		y=temp-a/b*x;
		return d;
	}

为什么要这样求呢，推算过程如下：aX+bY=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bX'+(a%b)Y'=bX'+(a-a/b*b)Y'=aY'+b(X'-a/bY')（/为整除），所以，X=Y‘,Y=X'-a/bY'。

经过上面的步骤，求出了aX+bY=gcd(a,b)（0）的一组解（x,y），但在1061这个题中，要求解的是aX+bY=c（1）的最小整数解，到这只是迈出了第一步。

将式子1两边同时除以d=gcd(a,b)，如果d不能整除c，说明式1没有整数解，除完后得a'X+b'Y=c'（2），将式子0两边同时除以d，得a'X+b'Y=1，显然（2）式的解就是（c'x,c'y），所有整数解的集合为（c'x+b'k,c'y-a'k）（其中k是任意整数）。因为要求最小整数解，所以还要再处理一下，以c'x+b'k为例，它的最小整数值为：(c'x%b'+b')%b'，第一步是为了让它成为绝对值小于b'的整数，然后因为可能会变为负数所以加b'，又因为可能原本是正数，加b'后大于b'，所以又对b'取模。完整的题目1061的AC代码如下：

import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static long t,p;
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		long x=in.nextLong();
		long y=in.nextLong();
		long m=in.nextLong();
		long n=in.nextLong();
		long L=in.nextLong();
		long a=m-n,b=L,c=y-x;
		if(a<0){
			a=-a;
			c=-c;
		}
		long d=extendgcd(a,b);
		if((m==n&&x!=y)||c%d!=0)
			System.out.println("Impossible");
		else{
			b=b/d;
			c=c/d;
			t=c*t;
			System.out.println((t%b+b)%b);
		}
	}
	
	public static long extendgcd(long a,long b){
		if(b==0){
			t=1;
			p=0;
			return a;
		}
		long d=extendgcd(b,a%b);
		long temp=t;
		t=p;
		p=temp-a/b*t;
		return d;
	}
}