虚数的意义

最近学图像处理涉及到傅里叶变化,其中逃不掉和虚数打交道,在赞叹欧拉公式的神奇之余,我在思考虚数为何被创立,他有什么物理意义。在此看到了阮一峰的博客博客地址,并深入挖掘看到betterexplained网址,看完感慨良多,我在想学习之余营多思考存在的意思,这才能算得上悟道。

### FFT 结果中虚数部分的含义 快速傅里叶变换 (FFT) 的结果通常是一个复数数组,其中每个复数值由实部和虚部组成。这些复数值代表输入信号在频域上的特征。具体来说,虚数部分反映了信号相位的信息[^1]。 #### 虚数部分的意义 - **频率分量的正弦项贡献**:FFT 中的每一个复数值对应于特定频率下的幅度和相位信息。对于某个频率 \( f \),其对应的复数值可以写成 \( A e^{j\phi} \),其中 \( A \) 是该频率分量的幅值,\( \phi \) 是相位角。这里的虚数部分实际上是由正弦函数引起的成分。 - **相位信息**:如果只考虑实数部分,则丢失了关于波形形状的重要细节。而虚数部分则提供了完整的相位描述,这对于许多工程领域(如通信、控制理论)至关重要。 #### 如何解释虚数? 当观察到某频率处存在非零虚部时,这表明原始时间序列数据不仅包含余弦波动还含有同频率但有90度移位关系即正弦形式的变化模式[^1]。 ### 对于虚数部分的处理方法 根据应用场景的不同,可能采取如下几种方式来对待FFT输出里的虚数: 1. **计算模长作为总能量指标** 如果仅关心各频率下总的强度而不关注具体的相位差异的话, 可以简单取绝对值得到每一点的能量大小: ```python import numpy as np fft_result = np.fft.fft(signal) magnitudes = np.abs(fft_result) ``` 2. **分离并单独研究实部与虚部** 当需要分别考察两个相互垂直方向上的振动情况或者进一步挖掘隐藏规律的时候可以选择分开讨论两者: ```python real_part = np.real(fft_result) imag_part = np.imag(fft_result) ``` 3. **转换为极坐标形式获取角度信息** 将笛卡尔坐标的表达转化为更直观易懂的角度制表述有助于理解物理过程背后的实际意义. ```python amplitude = np.abs(fft_result) phase_angle = np.angle(fft_result) ``` 以上三种策略各有侧重适用于不同的科学和技术背景之中.
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