迪杰斯特拉的最短路证明

算法简述

众所周知，迪杰斯特拉每次选的是和源点最近的点，然后拓展。注意和prim的区别。prim的dist是定义的每个点和已经确定集合的距离，而迪杰斯特拉的是和源点的距离。

证明

用数学归纳法。
假设前n个点已经确定的dist是正确的。那么要证明第n+1个点x，即剩下的里面最小的点的dist也是正确的，也就是证明这条从源点走经过一系列n点集合里的点的路径path是x的最短路。
假设第n+1个点的dist不正确，那就是说最短路不是path。现在有两种情况：

• 1.x的最短路是另一条路path‘。path‘除了x其他都是n点集合里的点。设path‘经过的最后一个n集合中的点是k‘，那么又分了两种情况：
  • （1）k’=k。根据前n个点都对的假设，$len(path)\le len(pat{h}^{\prime })$
  • （2）k’!=k。根据假设$$dis{t}_{k^{\prime }}+dist(k^{\prime },x)<dis{t}_k+dist(k,x)$$但是根据算法找的是最小值，所以这是不成立的。
• 所以，如果想要有更短的路径，只能经过n点集合外面的点。设真正的源点到x的最短路为path‘。path’经过的第一个集合外面的点k，k！=x。那么根据前n个点都是正确最短路的假设，这个k的最短路一定是$dis{t}_k$。那么根据算法设定和无负权边的设定，一定有$$len(pat{h}^{\prime })=dis{t}_k+dist(k,x)>dis{t}_k>dis{t}_x$$所以path‘不可能是最短路，矛盾。