处理模运算

模运算规则

基本运算法则

• 加法运算法则：$(a + b) \% c = (a\%c + b\%c)\%c$
• 减法运算法则：$(a - b) \% c = (a\%c - b\%c)\%c$
• 乘法运算法则：$(a * b) \% c = (a \%c * b \% c) \% c$
• 指数运算法则：$(a ^ b) \% c = ((a \% c) ^ b) \% c$
• 除法运算法则：需要求逆元，我们后面讲

交换律

• 加法交换律：$(a + b) \% c = (b + a) \% c$
• 乘法交换律：$(a * b) \% c = (b * a) \% c$

结合律

-加法结合律：

$$\begin{equation} \begin{aligned} ((a + b)\%d + c)\%d & = (((a + b) \%d)\%d + c\%d)\%d\\ &=((a + b) \% d + c \% d)\%d \\ &=(a + b + c)\%d\\ (a + (b + c)\%d )\%d & = (a\%d + ((b + c) \%d)\%d)\%d\\ &=(a \% d + (b + c) \% d)\%d \\ &=(a + b + c)\%d \end{aligned} \end{equation}$$
-乘法结合律：
$$\begin{equation} \begin{aligned} ((a * b)\%d * c)\%d & = (((a * b) \%d)\%d * c\%d)\%d\\ &=((a * b) \% d * c \% d)\%d \\ &=(a * b * c)\%d\\ (a + (b + c)\%d )\%d & = (a\%d * ((b * c) \%d)\%d)\%d\\ &=(a \% d * (b * c) \% d)\%d \\ &=(a * b * c)\%d \end{aligned} \end{equation}$$

分配率

$$\begin{equation} \begin{aligned} ((a + b)\%d * c)\%d & = ((a+b)\%d\%d * c\%d)\%d\\ & = ((a + b)\%d * c\%d)\%d\\ & = ((a + b) * c)\%d\\ & = (a*c + b*c)\%d\\ & = ((a*c)\%d + (b*c)\%d)\%d \end{aligned} \end{equation}$$

同余运算

定义

两个整数$a$, $b$关于$p$同余，定义为$a\%p=b\%p$，记为$a\equiv b\pmod p$

同余运算法则

• 加法法则 ：$a \equiv b \pmod p \Leftrightarrow (a + c) \equiv (b + c) \pmod p$
• 乘法法则 ：$a \equiv b \pmod p \Leftrightarrow (a * c) \equiv (b * c) \pmod p$
• 混合法则：如果$a \equiv b \pmod p$并且$c \equiv d \pmod p$，那么可以得出如下几条结论：
  
  • $(a + c) \equiv (b + d) \pmod p$
  • $(a * c) \equiv (b * d) \pmod p$
  • $(a - c) \equiv (b - d) \pmod p$

模运算应用

求最大公约数$gcd(a, b)$

1. 更相减损法

这个算法最早记载于中国的数学名著《九章算术》中，其主要的思路：假设$x = gcd(a, b)$, 显然我们知道$a\%x = 0$和$b\%x = 0$， 根据同余运算法则$(a - b)\%x ==0$. 假设$gcd(a, b)$是方程组的解

$$\begin{equation} \begin{cases} a\%x&=0\\ b\%x &= 0\ \end{cases} \end{equation}$$
显而易见，$gcd(a, a-b)$也是方程组的解
$$\begin{equation} \begin{cases} a\%x&=0\\ (a - b)\%x &= 0\ \end{cases} \end{equation}$$
我们可以推出如下结论：$gcd(a, b) = gcd(a, a - b)$. 于是我们找到了求最大公约数的解法。

int jiuzhang_gcd(int a, int b) {
    while (a != b) {
        if (a > b) {
            a -= b;
        } else {
            b -= a;
        }
    }
    return a;
}

2. 辗转相除法

辗转相除法又叫Euclidean 算法，是著名数学家欧几里得发明的，其基本的思想是，假设我们要求的是整数$a$和$b$的最大公约数$x$，且这两个数满足如下关系：

$$\begin{equation} \begin{cases} a&=mx\\ b&= nx\\ a/b&=c\dots r \end{cases} \end{equation}$$
很容易得出如下结论：

$$\begin{equation} r = a - cb = mx -cnx=Cx \end{equation}$$
所以,gcd(a,b) = gcd(a%b, b).

int euclidean_gcd(int a, int b) {
    while (max(a,b) % min(a,b) != 0) {
        if (a > b) {
            a %= b;
        } else {
            b %= a;
        }
    }
    return min(a,b);
}

3. 扩展辗转相除法

问题描述：假定存在两个互素的正整数$a$和$b$，求解方程$ax + by = 1$.
思想：由于$a$和$b$互素（事实上，如果$a$和$b$不互素，那么上述方程无解），所以$gcd(a,b) = 1$, 于是$ax + by = gcd(a,b)$。为了求解上述方程，我们令

$$\begin{equation} \begin{cases} a'&=b\\ b'&= a \% b\\ \end{cases} \end{equation}$$
并求解下面方程的解：
$$\begin{equation} \begin{aligned} a'x'+b'y = gcd(a',b') & \Leftrightarrow bx' + (a - (a/b)b)y'=gcd(a,b)\\ &\Leftrightarrow ay' + b(x' - (a/b)y')=gcd(a,b) \end{aligned} \end{equation}$$
只要我们求出上述方程的解(x’,y’), 经过转换我们就可以求出原始方程的解(x,y), 转换的方程如下
$$\begin{equation} \begin{cases} x&=y'\\ y&= x' - (a/b)y'\ \end{cases} \end{equation}$$
经过迭代，最终会出现求解$1*x+0*y=gcd(1,0)$的情况，这正是这个解法的终止条件。

void ext_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b != 0) {
        int xx, yy;;
        ext_gcd(b, a%b, xx, yy);
        x = yy;
        y = xx - (a / b) * yy;
    } else {
        x = 1;
        y = 0;
    }
}

求逆元