判断点是否在一个三角形内部

本文介绍了一种判断点是否位于三角形内的方法,包括使用4次向量叉乘的传统方法及仅需3次叉乘的改进方法,并探讨了其在计算几何中的应用。

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之前有了解过这方面的东西,在图形编辑器中也用到了这个判断,当时总结出来的结果是要4次向量叉乘。同时在网上粗略的搜了一下,貌似也没找到有更好的方法了(也许是自己没找到,^-^).下面先说一下用4次向量叉乘的方法:

设三角形三点A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),已知点M(x,y),

1,先求出三个向量MA,MB,MC. 

2,计算MA*MB,MA*MC; MB*MC,MB*MA;

3,如果此两组的向量叉乘的结果都是异号的,即方向相反的,则说明是在三角形内部,否则在三角形外部!

当然还可以计算三角形面积的方法,其实面积就是向量叉乘的意思,本质上是一样的。最后说一下只用3次叉乘就ok的方法(昨天找下学期做毕业设计的老师,她让我做计算几何算法用并行计算实现方面的东东,因此突然间回忆了一下以前看的比较郁闷的计算几何方面的东东,嘿嘿),

只需依次计算MA*MB,MB*MC,MC*MA,如果此3结果都是同号(或都正,或都负),则说明点M在三角形每条边的同侧,即内部。否则必在外部!

 

 

### MATLAB 中判断是否位于三角形内部的方法 在MATLAB中,可以通过多种方法来判断一个是否位于由给定顶定义的空间三角形内。一种常用且高效的方式是基于向量叉积的判定方法[^1]。 #### 向量法原理 该方法利用了三维空间中的向量关系来进行判断。对于不在同一平面内的四 \(P\) 和 \(\triangle ABC\) 的三个顶: - 计算从三角形一个到其他两个顶以及待测形成的三条边对应的向量; - 使用这些向量之间的叉乘结果来决定方向性和相对位置; - 如果这三个叉乘的结果都指向相同的一侧,则说明测试处于三角形之内;反之则在外。 具体来说,设有\( P(x_p,y_p,z_p)\),要检测其相对于\(\triangle ABC\)的位置,可以按照如下方式操作: ```matlab function inside = isPointInTriangle(P,A,B,C) % 定义各条边上单位向量 AB = B - A; AC = C - A; AP = P - A; BC = C - B; BP = P - B; CA = A - C; CP = P - C; % 叉乘得到法线方向 n1 = cross(AB,AC); n2 = cross(AP,AB); n3 = cross(BP,BC); n4 = cross(CP,CA); % 判断符号一致性 d1 = dot(n2,n1)>0; d2 = dot(n3,n1)>0; d4 = dot(n4,n1)>0; inside = all([d1,d2,d4]); end ``` 此函数接收四个参数——分别是表示目标和构成三角形三顶坐标的列向量,并返回逻辑值指示输入是否落在指定区域内。 另外还有一种更简洁的办法就是采用面积比较的方式来解决问题,即当某一使得原三角形被分割成的小三角形总面积等于原始大三角形时,那么这个就在原来的那个三角形里面[^2]。 然而上述两种方案均适用于二维平面上的情形,在处理实际工程应用里的立体几何对象之前还需要额外考虑一些因素以确保准确性[^4]。
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