5.5 位运算专题：LeetCode 面试题 17.19. 消失的两个数字

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LeetCode 面试题 17.19. 消失的两个数字

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题目描述

给定一个数组 nums，其中包含从 1 到 N 的整数，但缺失了其中的两个。请找出这两个缺失的整数。要求时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(1)。
示例：

• 输入：[1] → 输出：[2,3]
• 输入：[2,3] → 输出：[1,4]

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示例分析

1. 常规情况：
   • 输入 [1,3,4]，本应包含 1-5，缺失 2 和 5。
2. 边界情况：
   • 输入 [1]，本应包含 1-3，缺失 2 和 3。
3. 大数测试：
   • 输入 [1,2,...,999]，缺失 1000 和 1001。

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算法思路

核心思想：位运算 + 分组异或

1. 异或运算：
   • 将所有数组元素和完整的 1 到 N 异或，得到 temp。temp 等于两个缺失数的异或结果。
2. 找不同位：
   • 找到 temp 中任意一个为 1 的二进制位 diff，用于将数分为两组。
3. 分组异或：
   • 根据 diff 位的值，将数组元素和完整序列中的数分为两组，分别异或得到两个缺失数。

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边界条件与注意事项

1. 数组长度：
   • 输入数组长度为 N-2，需确保遍历范围正确。
2. 负数处理：
   • 使用算术右移处理符号位，保证负数正确参与位运算。
3. 溢出处理：
   • 使用 unsigned int 避免进位左移的未定义行为。

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代码实现

class Solution 
{
public:
    vector<int> missingTwo(vector<int>& nums) 
    {
        // Step 1: 异或所有元素和完整序列，得到缺失数的异或结果
        int temp = 0;
        for (int num : nums) temp ^= num;
        for (int i = 1; i <= nums.size() + 2; i++) temp ^= i;

        // Step 2: 找到区分两个数的比特位
        int diff = 0;
        while (((temp >> diff) & 1) == 0) diff++;

        // Step 3: 分组异或
        int a = 0, b = 0;
        for (int num : nums) 
        {
            if ((num >> diff) & 1) b ^= num;
            else a ^= num;
        }
        for (int i = 1; i <= nums.size() + 2; i++) 
        {
            if ((i >> diff) & 1) b ^= i;
            else a ^= i;
        }

        return {a, b};
    }
};

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关键步骤解析

1. 异或运算：
   • 遍历数组和完整序列 1 到 N（N = nums.size() + 2），所有出现两次的数异或结果为 0，最终 temp 为两缺失数的异或值。
2. 找不同位：
   • 缺失数不同，至少存在一个二进制位不同。找到该位 diff，将数分为两组。
3. 分组异或：
   • 每组中，除缺失数外，其他数均出现两次，异或后抵消。最终每组异或结果即为缺失数。

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对比暴力枚举法

对比维度	位运算法	暴力枚举法
时间复杂度	O(N)	O(N²)（遍历每个数检查是否在数组）
空间复杂度	O(1)	O(N)（哈希表存储数组元素）
实现难度	需理解位运算和分组逻辑	简单，但效率低
适用场景	大规模数据，内存敏感	小规模数据，无需优化

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总结

位运算法通过异或和分组策略，高效解决了缺失数字问题，时间复杂度和空间复杂度均为最优。其核心在于利用异或的归零律和恒等律，将问题分解为独立的二进制位处理，避免了额外空间的使用，适用于大规模数据场景。