动态规划——入门学习

动态规划入门学习

本文根据bilibili动态规划视频整理而来

【动态规划专题班】ACM总冠军、清华+斯坦福大神带你入门动态规划算法

动态规划题目特点

1.计数

2.求最值

3.存在性问题（是否、01、yes no）

例题讲解一

问题描述

思考过程

最优的策略，最后一个去掉后，剩下的也要是最优，也就是求子问题的最优

通过i找最优的子问题的解的问题，都可以用动态规划去解

最终可以得到下面的式子

解法

递归解法

存在的问题

重复的计算较多，最终的复杂度大大增加，最严重的问题是会超时，我们需要一个会将结果保存下来的算法

动态规划解法

转移方程

一般在面试的时候写出转移方程，那解题过程就会显得更加完美

初始条件和边界情况

但是我们仍然要考虑两个重要的组成部分：初始条件和边界情况

注意：初始条件有时候是不需要的，如果转移方程算不出来的但是有需要的定义，那就是作初始条件

其实初始条件就是最小的值，边界情况就是不要数组越界（正负越界）

计算顺序

大部分动规问题可以从小到大计算（即子问题先于父问题求解），其实就是求解一个数组的每一个值

程序

public class Solution {
                        //{2,5,7}   //27
    public static int coinChange(int[] A, int M){

        //首先在不浪费空间的基础上开辟空间
        int[] f = new int[M + 1];
        int n = A.length;

        f[0] = 0;

        int i,j;
        // f[1], f[2],......,f[27]
        for (i = 1; i <= M; ++i){
            f[i] = Integer.MAX_VALUE;  //先暂定无穷大
            //f[i] = min{f[i-A[0]]+1,......,f[i-A[n-1]]+1}
            for (j = 0; j < n; ++j){   //对每一钟结果都算一遍

                //避免i-A[i]是负数, 避免在计算机层面上越界
                if (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE){
                    f[i] = Math.min(f[i - A[j]] + 1, f[i]);
                }
            }
        }

        //如果最后结果出不来，就返回-1
        if (f[M] == Integer.MAX_VALUE){
            f[M] = -1;
        }

        return f[M];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] A ={2, 5, 7};
        int M = 27;
        System.out.println(coinChange(A,M));
    }
}

例题讲解二

问题描述：

解法

确定状态

注意，关于在算法中开辟空间维度的问题，题目的子问题要求解决多少个变量，就开几维

转移方程

初始条件和边界情况

这道题地边界情况是对于某一维为0的情况来说的

注意边界情况f【i】【j】 = 1，因为在边界的时候，只有一个方向能过来，所以就赋值1，而其他的情况，就有两种可能，所以要把两种可能相加（这个时候就要注意题意了，是说有多少种可能，而不是要走过多少个格子）

计算顺序

程序

public class Solution2 {
    public static int uniquePaths(int m, int n){
        int[][] f = new int[m][n]; // 注意这里就不像上一题要+1
        int i,j;
        for (i = 0; i < m; ++i){ // row: top to bottom
            for (j = 0; j < n; ++j){ // column: left to right
                if (i == 0 || j == 0){
                    f[i][j] = 1;
                } else {
                    f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(uniquePaths(7, 3));
    }
}

例题讲解三

解法

确定状态

找到子问题

转移方程

上面的OR表示只要有一个i满足括号内的条件，那这个整体就为真

初始条件和边界情况

这道题没有边界情况，因为枚举的i不会越界

计算顺序

程序

public class Solution3 {
    public static boolean canJump(int[] A){
        int n = A.length;
        boolean[] f = new boolean[n];
        f[0] = true;

        for (int j = 1; j < n; ++j){
            f[j] = false;

            //对已经求出来得f[i]遍历，直到满足条件确定可以跳到f[j]为止
            for (int i = 0; i < j; ++i){
                if (f[i] && i + A[i] >= j){
                    f[j] = true;
                    break;
                }
            }
        }

        return f[n-1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] A = {2,3,1,1,4};
        System.out.println(canJump(A));
    }
}